Conjuntos de Borel versus conjuntos de Baire

Question

(1) Suponha que eu tenha um espaço compacto de Hausdorff $X$com uma base contável. Por que a álgebra de Borel$\mathcal{B}(X)$ (a $\sigma$-campo gerado pelos conjuntos abertos) e a álgebra de Baire $\mathcal{B}a(X)$ (a $\sigma$-campo gerado pelo compacto $G_\delta$conjuntos) iguais? Onde posso encontrar uma prova disso?

(2) Suponha agora que $X$tem uma base incontável. Nesse caso,$\mathcal{B}(X)$ e $\mathcal{B}a(X)$não coincidem mais, e sei que considerar os conjuntos de Baire evita algumas patologias dos conjuntos do Borel. Quais são essas patologias? Além disso, qual seria um exemplo de conjunto de Borel que não seja Baire?

Answer 1

Para ver no primeiro caso que os conjuntos Baire e os conjuntos Borel coincidem, basta observar que os conjuntos geradores dos conjuntos Baire (compactos $G_\delta$) são sempre Borel (compacto implica fechado em espaços de Hausdorff) de modo que Baire $\subseteq$Borel facilmente. E se$O$ está aberto, podemos escrevê-lo como uma união contável de compacto $G_\delta$ conjuntos, então todos os conjuntos abertos estão no Baire $\sigma$-field, então todos os conjuntos do Borel também são. (O segundo compacto de Hausdorff contável implica perfeitamente normal, etc.)

Para ver o que pode dar errado em geral, verifique $X=\omega_1 + 1$que é um Hausdorff compacto, mas não é um segundo contável. Iniciar,$\{\omega_1\}$ é fechado (então Borel), mas não Baire (Halmos prova em sua Teoria da Medida que um conjunto compacto é Baire se for um $G_\delta$e este singleton não é). A medida Dieudonné em$X$é uma medida do Borel que não é regular, mas é regular quando trabalhamos em conjuntos Baire. Veja o livro de Halmos ou o extenso trabalho de Fremlin em teoria de medida topológica. Pegar conjuntos de Baire nos dá conjuntos mais do que suficientes para fazer coisas de integração, etc. e dá melhores medidas de comportamento em termos de propriedades de regularidade.