Convergência de expansões de autofunção de Sturm-Liouville nos pontos finais de um intervalo.
Deixei $\{\phi_n\}_{n=0}^\infty$ ser as funções próprias do problema regular de Sturm-Liouville \begin{align} -(p\,\phi')' + q\, \phi = \lambda \, r \, \phi \quad &\textrm{for } x \in (x_1,x_2)\\ - a_i \, \phi(x_i) + b_i\, (p\,\phi')(x_i) = 0 \quad &\textrm{for } i=1,2. \end{align} Assuma isso $p$ e $r$são positivos e duas vezes continuamente diferenciáveis; assuma isso$q$é contínuo; os coeficientes$a_i,b_i$ para $i=1,2$ são reais.
Deixei $F(x)$ ser uma função duas vezes continuamente diferenciável no intervalo $[x_1,x_2]$. Nas condições acima, sei que \ begin {equation} \ textrm {(I)} \ quad \ quad F (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left (\ int_ {x_1} ^ {x_2 } F (z) \, \ phi_n (z) \, r (z) \, \ textrm {dz} \ right) \, \ phi_n (x) \ end {equation} com igualdade pontual no intervalo aberto $(x_1,x_2)$.
Minha pergunta é: a que valor o ponto final $(x=x_i)$série \ begin {equation} \ textrm {(II)} \ quad \ quad \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left (\ int_ {x_1} ^ {x_2} F (z) \, \ phi_n (z) \, r (z) \, \ textrm {dz} \ right) \, \ phi_n (x_i) \ end {equation} converge para? Existe uma expressão de forma geral fechada?
E se $F(x)$ satisfaz as mesmas condições de contorno que as funções próprias $\phi_n$, então eu sei que a série (I) converge para $F(x)$ uniformemente no intervalo fechado $[x_1,x_2]$ (e assim obtenho igualdade de ponto no intervalo fechado).
Por outro lado, se as funções próprias $\phi_n$ satisfazer as condições de contorno mais simples $\phi_n(x_i)=0$então a série de pontos finais (II) deve convergir para zero. A série (I) deve, então, ter uma descontinuidade de salto finito nos pontos finais, por exemplo, salto de$\lim_{x\rightarrow x_2}F(x)$ para $0$ em $x=x_2$. No entanto, estou interessado nas condições de contorno mais gerais acima.
Estou ciente das expressões de forma fechada para a série de endpoint no caso de uma expansão de Fourier; Estou me perguntando se existe uma expressão análoga para expansões regulares de Sturm-Liouville.
Quaisquer referências seriam muito apreciadas.
Edit: Eu vinculei uma questão relacionada aqui. Existe um resultado análogo para a série Sturm-Liouville? Obtemos convergência pontual para$F(x)$ no intervalo fechado $[x_1,x_2]$ sempre que $b_1,b_2 \neq 0$?
Edit # 2: O artigo Sturm-Liouville na Encyclopedia of Mathematics afirma que, com$b_1,b_2 \neq 0$, a expansão (I) converge sob as mesmas condições que uma série Cosseno para qualquer $F\in L^1$. Presumivelmente, a partir da edição anterior, isso implicaria que obtemos convergência pontual para$F$ em todo o intervalo se $F$ é diferenciável e $b_1,b_2 \neq 0$. Infelizmente, não tenho acesso aos artigos citados na enciclopédia.
Respostas
Na seção 9 da Introdução à Teoria Espectral: Operadores Diferenciais Ordinários Auto-adjuntos, de Levitan e Sargsjan, os autores mostram que para o problema de Sturm-Liouville\begin{align} -y'' + q\,y = \lambda \,y\\ y'(0) - h\, y(0) = 0 \\ y'(\pi) + H\, y(\pi) = 0 \end{align} em $[0,\pi]$, if $h,H \neq \infty$, then the Sturm-Liouville eigenfunction expansion converges or diverges at any point in the closed interval $[0,\pi]$ according to the behaviour of the corresponding cosine series expansion.
If one of $h$ or $H$ is infinity, one must instead compare with the $sin([n+1/2]x)$ expansion. Otherwise, if both $h=\infty, H=\infty$, then one must compare with the sine series expansion.