convergência na distribuição $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$
Defina uma sequência de distribuição $u_n$.
Deixei $u_n\to u$ dentro $D'(X)$ e suponha que temos um seuqence $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ de tal modo que $\varphi_n\to \varphi $ dentro $C_c^\infty(X)$.
Podemos mostrar $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$
Eu sei que podemos mostrar $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ para qualquer $\phi\in C_c^\infty(X)$,e $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ para cada $n$.Como combiná-los juntos?
$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$
Mas não exatamente duas mesmas variáveis?
Respostas
Eu assumo isso $X$ é um subconjunto aberto de $\mathbb{R}^n$. Para qualquer subconjunto compacto$K$ do $X$, deixei $C_K^{\infty}(X)$ denotam o espaço Frechet de todos $f \in C_c^{\infty}(X)$ de tal modo que $\text{supp}(f) \subset K$.
Um teorema não trivial sobre a convergência na topologia de limite indutivo estrito de $C_c^{\infty}(X)$ implica que deve haver $n_0 \geq1$ e um subconjunto compacto $K \subset X$ para que cada $\varphi_n$ com $n \geq n_0$ e $\varphi$ em si pertence a $C_{K}^{\infty}(X)$ e essa $\varphi_n \rightarrow \varphi$neste espaço. O mapa de restrição$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ é contínuo para as topologias de estrela fraca e, portanto, a sequência de distribuições restritas $u_n|_{C_K^{\infty}}$ converge para a distribuição restrita $u|_{C_K^{\infty}}$ na topologia de estrela fraca em $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$.
Assim, reduzimos nosso problema a provar que em cada espaço Frechet $V$, para cada sequência convergente de vetores $\varphi_n \rightarrow \varphi$ e sequência convergente de estrela fraca de funcionais lineares contínuos $\ell_n \rightarrow \ell$, temos $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ dentro $\mathbb{C}$, Como $n \rightarrow \infty$.
Por uma redução mais fácil, é suficiente provar isso no caso $\varphi=0$ e $\ell = 0$.
Isso, por sua vez, decorre do princípio de limite uniforme em espaços Frechet, conforme explicado nesta resposta . Este teorema implica que a família$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ é automaticamente equi-contínuo, o que significa que, dado qualquer $\varepsilon >0$, Há sim $U \subset X$ Aberto, $0\in U$, de modo que para todos $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ temos $|\ell_n(v)| < \varepsilon$. Tão dado$\varepsilon$, primeiro escolha tal $U$ e então pegue $n$ suficientemente grande para que $\varphi_n \in U$.