Curvatura do espaço perto de um buraco negro

Aug 16 2020

(Teóricos rigorosos terão que perdoar minha formulação sobre esta questão, eu sou novo em GR e a maior parte do meu treinamento em física é em mecânica quântica)

Na geometria não euclidiana, podemos falar de um espaço esférico como em um espaço intrinsecamente curvo. Em um espaço esférico, as linhas “paralelas” convergem para um ponto. Eu li na Wikipedia que “A topologia do horizonte de eventos de um buraco negro em equilíbrio é sempre esférica”.

É uma afirmação precisa afirmar que o espaço ao redor de um buraco negro é esférico e então a convergência de “linhas paralelas” se encontra em algum ponto dentro do horizonte de eventos? Se não for esse o caso, podemos ao menos classificar o espaço em torno de uma singularidade como hiperbólico, esférico ou outra coisa?

Link abaixo:

https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon

Respostas

3 RickyTensor Aug 16 2020 at 07:55

Não acho que seria correto descrever o espaço-tempo próximo a um buraco negro como "esférico". Por um lado, a curvatura do espaço muda dependendo de quão perto você está do buraco negro. Para uma esfera, a curvatura é uma constante e não varia com a localização. Além disso, você precisa de mais de um único número real para especificar a curvatura do espaço-tempo com dimensões maiores que 2. (Isso ocorre porque você pode ter um espaço onde os ângulos de um triângulo orientado em uma direção somam menos de 180 graus , mas os ângulos de um triângulo orientado em uma direção diferente somam mais de 180 graus.) Além disso, o campo gravitacional do buraco negro depende em grande parte do fato de que o espaço-tempo é curvo, não apenas da curvatura espacial.

Você provavelmente ainda poderia classificar a curvatura do espaço-tempo com base nos sinais de vários componentes do tensor de curvatura, mas a classificação seria mais complicada do que esférica vs. plana vs. hiperbólica.

10 ChiralAnomaly Aug 16 2020 at 08:54

Eu li na Wikipedia que “A topologia do horizonte de eventos de um buraco negro em equilíbrio é sempre esférica”.

Essa resposta esclarece o que essa afirmação significa. Isso significa que se começarmos com qualquer buraco negro no espaço-tempo 4d, então considerarmos o horizonte como uma variedade 3D por si só, esta variedade tem a topologia$S^2\times \mathbb{R}$, Onde $S^2$ é uma esfera de duas (a superfície de uma bola) e $\mathbb{R}$é uma linha. É uma declaração sobre topologia, não sobre geometria. Em particular, a declaração não diz (quase) nada sobre geodésicas (ou linhas paralelas).

A propósito, a afirmação é específica para buracos negros no espaço-tempo 4d. No espaço-tempo 5d, um buraco negro pode ter um horizonte de eventos com topologia não esférica.

Exemplo

Considere a métrica de Schwarzschild no espaço-tempo 4d. O elemento de linha para linhas de mundo semelhantes ao espaço é$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ Onde $A(r)$vai para zero no horizonte. A notação$d\Omega^2$ é uma abreviatura para a parte coordenada esférica: sem o fator de $A$, A combinação ${dr^2}+r^2d\Omega^2$seria o elemento de linha do espaço euclidiano plano 3d em coordenadas esféricas. Qualquer valor fixo de$r$define uma subvariedade 3d do espaço-tempo 4d. E se$A(r)\neq 0$, a métrica induzida neste manifold é $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ Onde agora $r$ e $A(r)$são constantes. Esta é a métrica padrão em$S^2\times\mathbb{R}$, onde o fator $\mathbb{R}$ contas para a coordenada extra $t$. No horizonte, temos$A(r)=0$, e a equação (1) não faz sentido aqui. A variedade suave ainda faz sentido lá, mas os componentes da métrica não. Podemos resolver isso de duas maneiras:

  • Levar $r$ser arbitrariamente próximo a este valor. Isso é bom o suficiente para ver qual é a topologia do$A(r)=0$múltiplo será. A equação (1) diz que o$dt^2$desaparece no horizonte, o que corresponde ao fato de o horizonte ser uma hipersuperfície nula : deslocamentos no$t$-direção são semelhantes à luz (têm comprimento zero).

  • Melhor ainda, podemos usar um sistema de coordenadas diferente para que a métrica 4d seja bem definida no horizonte. Nas coordenadas Kerr-Schild , a métrica Schwarzschild tem a forma$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ Onde $V(r)$ é bem definido em todos os lugares, exceto em $r=0$. O horizonte corresponde a$V(r)=1$, onde o $dt^2$termo desaparece. Configuração$r$ igual a este valor especial dá a métrica induzida $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ Esta é a métrica padrão em $S^2$, mas a topologia é na verdade $S^2\times\mathbb{R}$, onde o $\mathbb{R}$ fatores responsáveis ​​pelo $t$-coordenada. Não há$dt^2$ termo em (4) porque o horizonte é uma hipersuperfície nula: deslocamentos no $t$-direção tem comprimento zero. Esta é a mesma conclusão a que chegamos antes, mas agora chegamos mais diretamente porque a métrica (3) está bem definida no horizonte.