Dadas variáveis ​​aleatórias iid $\{X_n\}$com segundo momento finito. Provar $n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$

Question

Dadas variáveis ​​aleatórias iid $\{X_n\}$com segundo momento finito. Como provar$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$?

Eu tentei a desigualdade de Chebyshev:
$$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\leq n\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2n}=\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2}$$mas não funcionou porque temos apenas momentos finitos de segunda ordem . Existe alguma desigualdade que seja mais delicada do que a desigualdade de Chebyshev?

Answer 1

$nP(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n) \leq n\frac { \int_{E_n} |X_1|^{2}dP} {\epsilon n}$ Onde $E_n=(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n)$. Use o fato de que$\int_{E_n} |X_1|^{2}dP \to 0$ desde os eventos $\int_{E_n} |X_1|^{2}$ diminuir para conjunto vazio e $E|X_1|^{2} <\infty$.

Answer 2

Eu provarei o seguinte lema do qual sua resposta seguirá.

Deixei $X$ ser uma variável aleatória de valor real não negativa de forma que $\mathbb E(X)<\infty$. Então$$n \mathbb P[X>n ]\rightarrow 0 \text{ as }n\uparrow \infty$$ Prova: $\mathbb E(X)=\mathbb E(X\mathbb 1_{X\leq n})+\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n })$.

Desde a $X\mathbb 1_{X<n}\uparrow X$ Como $n\uparrow \infty$ e todas as variáveis ​​aleatórias são não negativas, pelo Teorema de Convergência Monótona, temos $$\lim_{n\uparrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X<n})=\mathbb E(X)$$Segue-se, portanto, que $$\lim_{n\rightarrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n}) =0$$ Desde a $0\leq n\mathbb 1_{X>n}\leq X\mathbb1 _{X>n}$, Nós temos $$0\leq \mathbb E(n\mathbb 1_{X>n})\leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})$$ $$\implies 0\leq n \mathbb P[ X>n ] \leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})\rightarrow 0 \text{ as }n\rightarrow \infty$$Use o Teorema do Sanduíche para concluir. Finalmente, em seu problema, olhe para$Z:=\frac{|X_1 |}{\epsilon}$