Deduza isso $X$ tem distribuição normal com média $0$ e variância $1$

Question

Eu perguntei antes sobre um problema de Grimmet $ Welsh (e agradeço muito a @angryavian e @Graham Kemp):

"Se $ X + Y $ e $ X - Y $ são independentes, mostre que \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} onde $ X, Y $ são independentes com média $ 0 $ , variação $ 1 $ e $ M (t) $ finito. "

Este é o link: Função geradora de momentos aplicada em $ 2t $ .

Mas agora há a "segunda" parte do problema: mostrar que $ X $ (e $ Y $ ) são um RV com distribuição normal com $ 0 $ médio e variação $ 1 $ .

O próprio livro sugere definir uma função $ \ psi (t) = \ frac {M (t)} {M (-t)} $ e mostrar que $ \ psi (t) = \ psi (2 ^ {- n} t) ^ {2n} $ . Então, mostre que $ \ psi (t) = 1 + o (t ^ {2}) $ as $ t \ a 0 $ e $ \ psi (1) = 1 $ quando $ n \ a 0 $ . Isso nos permitirá concluir que $ M (t) = M (-t) $ e, quando aplicamos isso à equação principal (a do link e acima), obtemos $ M (t) = M (\ frac {1} {2} t) ^ {4} $ . O livro então diz para repetir o procedimento para obter o resultado desejado. Então, eu tenho algumas perguntas:

1. Como mostrar que $ \ psi (t) = \ psi (2 ^ {- n} t) ^ {2n} $ ?
2. O que significa esse "o" em $ \ psi (t) = 1 + o (t ^ {2}) $ ? (Não me lembro de ter visto isso no Capítulo)
3. Qual é o procedimento a repetir para obter o resultado desejado? O todo? A última parte?

Claro, se alguém souber de alguma outra forma de comprovar essa afirmação, ficarei muito apreciado! Agradeço antecipadamente por sua ajuda!

Answer 1

Dicas:

• Usando a primeira parte da pergunta, $\psi(t) = \frac{M(t)}{M(-t)} = \frac{M(t/2)^3 M(-t/2)}{M(-t/2)^3 M(t/2)}$. Faça mais algum trabalho para mostrar$\psi(t) = \psi(t/2)^2$.

• $\psi(t) = \psi(t/2)^2$ implica a igualdade mais geral $\psi(t) = \psi(t/2^n)^{2n}$.

• Por uma expansão de Taylor de $\psi$, temos $\psi(t) = \psi(0) + \psi'(0) t + \frac{1}{2} \psi''(0) t^2 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi)t^3$ para alguns $\xi$ entre $0$ e $t$. Nós sabemos$\psi(0)=1$. Nós temos $$\psi'(t) = \frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2}$$ tão $\psi'(0)=0$ (Porque $M'(t)=E[X]=0$) Nos tambem temos $$\psi''(t) = \frac{d}{dt}\frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2} = \frac{[M''(t)M(-t) - M(t) M''(-t)]M(-t)^2 + [M'(t)M(-t)+M(t)M'(-t)] 2 M(-t) M'(-t)}{M(-t)^4}$$ tão $\psi''(0)=0$ (Desde a $M''(0)=E[X^2]=1$) Assim, a expansão de Taylor torna-se $$\psi(t) = 1 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi) t^3.$$ Se você mostrar $\psi'''$ é limitado por alguma constante $C$ para $t$ perto de zero (não consigo pensar em uma maneira simples de mostrar isso, e estou assumindo que existem terceiros momentos ... talvez outra pessoa possa limpar minha bagunça aqui), então temos $$\lim_{t \to 0} \frac{|\psi(t) - 1|}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{C}{6} |t| \to 0$$ qual é a definição de $\psi(t)=1+o(t^2)$.

• $\psi(1) = \lim_{n \to \infty} \psi(2^{-n})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (1 + o(2^{-2n}))^{2n} = 1$ (Estou pulando etapas aqui)

• $\psi(1)=1$ implica $M(t)=M(-t)$

• $M(2t) = M(t)^3 M(-t) = M(t)^4$

• $M(t) = M(t/2)^4$

• $M(t) = M(t/2^n)^{4n}$

• um pouco mais de trabalho precisa ser feito para deduzir que $M(t)=e^{-t^2/2}$ é o único candidato possível MGF que satisfaz a recorrência acima.