Definição lógica com igualdade e Lei de Identidade na “Introdução à Lógica” de Suppes
A " Introdução à Lógica " de Patrick Suppes fornece regras para definições formais no capítulo 8. As regras abaixo são especificadas para um novo símbolo de operação com igualdade:
Uma equivalência $D$ introdução de um novo símbolo de operação de n-casas $O$ é uma definição adequada em uma teoria se e somente se $D$ tem a forma:
$O(v_1, ..., v_n) = w \leftrightarrow S$
e as seguintes restrições são satisfeitas:
(i)$v_1, ..., v_n, w$são variáveis distintas.
(ii)$S$ não tem variáveis livres além de $v_1, ..., v_n, w$.
(iii)$S$é uma fórmula em que as únicas constantes não lógicas são símbolos primitivos e símbolos previamente definidos da teoria.
(iv) A fórmula$\exists !w[S]$ é derivável dos axiomas e definições anteriores da teoria.
Também há uma menção prévia à Lei de Identidade :
Se x for qualquer coisa, então $x=x$.
Agora vamos supor que você tenha a seguinte definição:
$$ \forall f,x,y[f_x = y \iff f \text{ is a function } \land \langle x,y \rangle \in f] $$
Vamos supor também que você definiu anteriormente funções e pares ordenados de forma que você possa provar $\exists !y[S]$ com extencionalidade, portanto segue a regra (iv).
Aqui está o problema: dentro dos limites deste conjunto de regras, parece que se pode usar a Lei da Identidade com qualquer variável, digamos$A$, para reivindicar que $A_x=A_x$ e usar isso para reivindicar que $A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$, e então, que $A$é uma função, embora não saibamos nada sobre ela. Essa lógica pode ser usada com qualquer variável, seja uma relação normal, um conjunto simples, ou mesmo um elemento urinário, então essa dedução deve estar errada.
No início, pensei que estava infringindo a regra (iii), pois a afirmação "$A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$"tem um símbolo não definido anteriormente, $A_x$, que é definido na própria instrução, portanto, não seria válido.
No entanto, considere a seguinte definição: $$ \newcommand\liff{\leftrightarrow} \newcommand\lif{\rightarrow} \newcommand\lfi{\leftarrow} \newcommand\ordp[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand\mset[1]{\{ #1 \}} \newcommand\isRel[1]{#1 \text{ is a relation}} \newcommand\isFunc[1]{#1 \text{ is a function}} \newcommand\isOneOne[1]{#1 \text{ is one-one}} \mset{a} = p \iff \forall x[x \in p \liff x = a] $$
É único por extensão. Parece uma consequência clara disso$\mset{a} = \mset{b} \lif a = b$, mas a única maneira que vejo de provar isso é usando $\mset{a} = \mset{b}$ para obter $\forall x[x \in \mset{b} \liff x = a]$, o que não seria permitido se minha interpretação estivesse correta, portanto, não acho que essa seja a resposta.
Meu segundo instinto foi que a regra (i) está sendo quebrada, que $f_x = f_x$não conta como sendo variáveis distintas. No entanto, a partir da definição acima, também parece que$a \in \mset{a}$deve seguir. A única maneira que vejo de provar isso é usando$\mset{a} = \mset{a}$ com a definição, o que não seria permitido se fosse o caso, então também não acho que essa seja a solução.
Portanto, minha pergunta é: qual é o verdadeiro culpado da falácia?
Edit: Depois de uma longa discussão, estou adicionando algumas informações para esclarecer o que esta questão é e não é.
Não se trata de teoria dos conjuntos . Meu problema é com a linguagem formal da lógica de primeira ordem fornecida pelo livro. Para evitar o foco na teoria dos conjuntos, fornecerei um segundo exemplo. Vamos supor que temos as seguintes declarações:
$$ \forall a,b,x,y[\text{isSingleChild}(x) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{parentsOf}(a,b,y) \Rightarrow x = y] \\ \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] $$
A primeira afirmação garante que $x$ é único na definição de $\text{son}$.
A definição de $\text{son}\{a,b\}$parece seguir todas as regras fornecidas. Não se pretende afirmar que qualquer variável segue qualquer predicado específico, mas simplesmente declarar sua relação lógica. No entanto, se você usá-lo junto com a Lei de Identidade, você pode derivar:
$$ \newcommand{\fitch}[1]{\begin{array}{rlr}#1\end{array}} \newcommand{\fcol}[1]{\begin{array}{r}#1\end{array}} %FirstColumn \newcommand{\scol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %SecondColumn \newcommand{\tcol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %ThirdColumn \newcommand{\subcol}[1]{\begin{array}{|l}#1\end{array}} %SubProofColumn \newcommand{\subproof}{\\[-0.25em]} %adjusts line spacing slightly \newcommand{\fendl}{\\[0.037em]} %adjusts line spacing slightly \small \fitch{ \fcol{1:\fendl 2:\fendl 3:\fendl\fendl 4:\fendl 5:\fendl 6:\fendl 7:\fendl 8:\fendl } & \scol { \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \forall x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\\quad\iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \forall x[x = x] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\ \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \text{isAdult}(a) \\ \forall a [\text{isAdult}(a)] \\ } & \tcol{ \text{P} \fendl 1\ \forall\text{E}\ \fendl 2\ \forall\text{E}\ \fendl\fendl \text{T}\ \fendl 4\ \forall\text{E}\ \fendl 3,5\ {\liff}\text{E}\ \fendl 6\ {\land}\text{E}\ \fendl 7\ \forall\text{I}\ \fendl }} $$
Portanto, a partir dessa definição, você pode deduzir que todo mundo é adulto. Observe o que não estou dizendo. Não estou dizendo que esse argumento seja válido, nem defendendo-o, estou dizendo que o conjunto de regras dado no livro permite isso (provavelmente não, mas não vejo nenhuma regra de dedução lógica sendo quebrada). Eu sei que o argumento é ilógico, mas as regras formais estão sendo seguidas . Minha pergunta não é sobre a solidez do argumento, mas a solidez do sistema fornecido no livro.
Observe também que a afirmação não é sobre a teoria dos conjuntos, nem "teoria da família", é sobre a própria lógica . Minha afirmação é que (aparentemente) dentro do sistema formal dado, qualquer declaração da seguinte forma se aplica:
$$ \forall a,b,x[\text{entityFrom}\{a,b\} = x \iff \text{hasSomeProperty}(a) \land \text{uniqueRelation}(a,b,x)] \vdash \forall a[\text{hasSomeProperty}(a)] $$
Eu entendo que a definição não acarreta a conclusão. No entanto, dentro do sistema, a conclusão parece ser dedutível dele.
Existem apenas três opções. Ou o sistema formal fornecido não é sólido, a definição realmente implica a conclusão, ou estou perdendo / interpretando mal alguma regra da Lei de Identidade / Regras para Definição / Regras para Quantificadores.
O livro e tem mais de 50 anos, quaisquer possíveis descuidos no sistema teriam sido notados até este ponto (ele também foi escrito por Suppes, então duvido que haja algum), portanto tenho certeza de que não é o primeiro. As definições também parecem bem formadas e parecem não levar diretamente à conclusão, então provavelmente não é a segunda também. Levando à conclusão de que provavelmente estou perdendo ou interpretando mal alguma cláusula / regra que tornaria esse argumento inválido. A questão é qual?
O que não responderá à pergunta:
- "Na teoria dos conjuntos, as funções têm um domínio específico e precisam ter [algumas propriedades do conjunto], então não é possível que todas as variáveis sejam funções."
- "Sua definição de paternidade não descreve a ideia de pais corretamente, pois não implica que todos os filhos tenham pais e [algumas propriedades da paternidade], portanto as definições não são descrições corretas."
A solução não pode ser sobre a falta de fundamento do argumento em uma teoria específica, que não levará à raiz do problema. Um contexto específico pode ser usado como exemplo, mas a solução deve estar no nível da linguagem formal.
O que pode responder à pergunta:
- "O conjunto de regras fornecido pelo livro está realmente incompleto, porque uma definição com igualdade contendo [alguma propriedade sintática] pode levar a uma falácia. No entanto, você pode evitá-la adicionando uma nova regra que exige que sua definição tenha [restrição de nova definição] "
- "Suas definições implicam logicamente na conclusão. Pense nisso, se sua definição for [esta], então [explicação de por que a definição deveria logicamente levar à conclusão], então o argumento e a conclusão são válidos. Duvido que seja isso que você pretendia conclua com a sua definição. Acho que o que você realmente quer dizer é [definição bem comportada]. " $^{\dagger}$
- "Você interpretou mal a regra [n], talvez você pense que significa [interpretação] quando na verdade diz [interpretação diferente]. Se você levar isso em consideração, a linha [x] de seu argumento não é válida."
- "Você está esquecendo que não pode substituir termos definidos como faz com variáveis. Você só pode substituir um termo definido se [alguma condição sintática] se aplicar, então passo $3$ de sua dedução é inválido. "
- "A Lei de Identidade não exige apenas exclusividade, mas também [alguma propriedade variável], portanto você não pode usá-la como em linha $5$, uma vez que a variável em sua definição não segue esta restrição. "
Sua resposta não precisa ser nenhuma das anteriores. Estou apenas apresentando os tipos de respostas que acho que provavelmente serão úteis: Respostas que enfocam a linguagem formal.
Obrigado por ler até o fim e espero que isso deixe claro o problema que desejo resolver.
$\dagger$Como apontado por Mauro ALLEGRANZA, este caso especialmente faz sentido. Como ele disse:
Pense nisso: há alguns axiomas em sua teoria dizendo que nem todo objeto é um Adulto?
Com o qual eu concordo. No entanto, há um problema: o conjunto de regras não deveria permitir isso .
No início do mesmo capítulo, antes que as regras sejam estabelecidas, seu objetivo é definido. Os " Critérios para definições adequadas ". O objetivo é separar um axioma de uma definição. O primeiro ( critério de eliminabilidade ) não é importante para esta discussão, mas o segundo é.
O Critério de Não Criatividade afirma que uma definição$S$ não é criativo se e somente se:
Não há fórmula $T$ em que o novo símbolo não ocorre de forma que $S \rightarrow T$ é derivável dos axiomas e definições anteriores da teoria, mas $T$ não é tão derivável.
O objetivo do conjunto de regras é garantir que nossas definições sigam esses dois critérios. Conforme afirmado na página 155: "[...] passamos à tarefa de estabelecer regras de definição que garantam a satisfação dos dois critérios de eliminabilidade e não criatividade "
Em meu exemplo de paternidade, temos a primeira afirmação como um axioma e a segunda como uma definição. No entanto, dentro dessa teoria, a declaração$\forall a [\text{isAdult}(a)]$ não contém o novo símbolo e pode ser derivado da nova definição, mas não apenas dos axiomas, o que tornaria a definição criativa.
Então, nesse caso, minha pergunta é: por que a definição é criativa, quando o conjunto de regras deve garantir a não-criatividade?
Respostas
O conjunto de regras fornecido pelo livro não está incompleto. A derivação de exemplo que você fornece também pode ser examinada. Você obtém conclusões (aparentemente) paradoxais porque a restrição (iv) não se sustenta em nenhum de seus exemplos.
Em seu primeiro exemplo, a fórmula $S$ denota o seguinte: "$v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2$". Portanto, a restrição (iv) não é satisfeita, a menos que o seguinte seja um teorema da teoria em consideração:
$$\exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
que, desde $v_1,v_2$ são variáveis livres distintas, mantém-se precisamente se
$$\forall v_1. \forall v_2. \exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
é um teorema de sua teoria também. Desnecessário dizer que esta última afirmação não é muito um teorema de qualquer teoria de conjuntos razoável. Em particular, isso implicaria "$\forall v. v \text{ is a function }$" por si próprio.
Em seu segundo exemplo, a fórmula $S$ denota o seguinte: "$\text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w)$". Como acima, a restrição (iv) não é satisfeita, a menos que o seguinte seja um teorema da teoria em consideração:
$$ \forall v_1. \forall v_2. \exists! w. \text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w) $$
Mas se a frase dada acima é um teorema de sua teoria, então você já pode provar (diretamente, começando da frase acima como uma premissa, e usando $\forall E$, $\wedge E$ e $\forall I$) naquela $\forall v_1. \text{isAdult}(v_1)$ é um teorema de sua teoria.