Definição Matemática de Poder [duplicado]
Sou um estudante do ensino médio que estava brincando com algumas equações e deduzi uma fórmula que não consigo imaginar fisicamente.
\begin{align} W & = \vec F \cdot \vec r \\ \frac{dW}{dt} & = \frac{d}{dt}[\vec F \cdot \vec r] = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt} \\ \implies & \boxed{P = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}} \end{align}
Eu diferenciei o Trabalho usando sua fórmula de forma vetorial $\vec F \cdot \vec r$Então, peguei essa fórmula aplicando a regra do produto. Se nesta fórmula$\frac{d\vec F}{dt}=0$ (A força é constante), então a fórmula simplesmente se torna $P = \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}$ o que faz todo o sentido, mas esta fórmula também sugere que se $\frac{d\vec r}{dt}=0$ então a fórmula para o poder se torna $P =\frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r$, o que implica que, se a velocidade for zero, isso não significa necessariamente que a potência do objeto também será zero!
Mas não encontro isso no meu livro didático do ensino médio e não consigo pensar em um exemplo no topo da minha cabeça em que essa situação seja verdadeira.
Pelo que tenho ouvido e lido, se a velocidade do objeto é zero, então a potência também é zero.
Alguém pode, por favor, esclarecer meu suposto equívoco ou me dar um exemplo da situação em que isso acontece?
Respostas
O trabalho realizado por uma força não é definido por $W=\mathbf F\cdot\mathbf r$. Em vez disso, o trabalho é definido em termos de uma linha integral ao longo de um caminho (sua equação apenas atribui um trabalho para uma força e uma posição, o que não corresponde ao que queremos dizer com o trabalho realizado por uma força). Nós temos
$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$
Então, quando temos $P=\text dW/\text dt$ nós apenas temos
$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$
Então não há $\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$termo na expressão para poder. Isso também funciona conceitualmente: a saída de potência de uma força não deve depender diretamente da posição da partícula (isto é, a localização da origem) em questão.
Trabalho é definido como $W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. Potência, P, é dW / dt =$\vec F \cdot \vec v$.
Sua relação de trabalho está incorreta, portanto sua relação de poder (relacionamento encaixotado em sua pergunta) não é correta.
Como outros já responderam, $W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$ é uma simplificação e funciona apenas em um caso especial de constante $\mathbf F$. E o mesmo acontece com suas fórmulas.
Uma maneira de ver isso fisicamente é reconhecer que o trabalho não é uma função da posição. Matematicamente, geralmente o descrevemos usando o conceito de diferencial inexato:
$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$
Esta notação é usada para sublinhar o fato de que você pode integrar ambos os lados e obter o mesmo número, mas você não pode reorganizar esta fórmula e na verdade você não pode (no caso geral) expressar $\mathbf F$ usando $W$.
Um exemplo de um diferencial exato e o que ele permite que você faça:
$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$
PS Existem alguns casos especiais em que você pode escrever $\mathbf F = \nabla \, W$, nesses casos é dito que $\mathbf F$ é uma força potencial.
Quando você toma os derivados, é de crucial importância ter muito claro em sua mente o que é função do quê.
Na definição do trabalho, a força é função da posição, não do tempo. Isso significa que, embora você certamente possa se mover em um campo de força que varia com o tempo, o que importa é a força que você mede em cada etapa do seu caminho, independentemente de como essa força foi no passado ou será no futuro.
As outras respostas discutem coisas estranhas como integrais e diferenciais. Esta resposta tenta atender aos OP onde eles estão: ela é direcionada ao nível de matemática usado na pergunta e começa com a fórmula$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
Presumivelmente, a razão que você começou com esta fórmula é que você fez encontrá-lo em seu livro o ensino médio e foram ensinados na escola. Isso porque a fórmula está certa, ao contrário do que algumas das outras respostas disseram. Mas você precisa entender duas coisas para aplicá-lo corretamente:
- Isso requer $\vec{F}$ para ser constante.
- Isso requer $\vec{r}$ser a mudança de posição enquanto o objeto está sujeito à força$\vec{F}$. Isso seria melhor escrito como$\Delta \vec{r}$. [1]
Agora, vamos examinar o seu problema:
E se $\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$ então a fórmula para o poder se torna $P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$, o que implica que, se a velocidade for zero, isso não significa necessariamente que a potência do objeto também será zero
Esta declaração não leva em conta as duas coisas discutidas acima:
- Não reconhece que $\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$.
- Não reconhece que $\vec{r}$, que é realmente $\Delta \vec{r}$, realmente não significa nada quando a velocidade é zero. (Para abordar este ponto corretamente, fazer integrais precisa - veja as outras respostas.)
[1] Para quem entende de eletricidade, é como as pessoas costumam escrever $V$ quando eles realmente querem dizer $\Delta V$.