Deixei $A$ ser um conjunto aberto e denso em $\mathbb R^n$. Provar que $A + A = \mathbb R^n$

Dec 04 2020

Eu não tenho ideia de como fazer isso. O que estou tentando provar é que, dado alguns$x$ dentro $\mathbb R^n$ tem que haver algum $y$ tal que ambos $\frac x 2 + y$ e $\frac x 2 - y$ ambos estão em A.

Mas não tenho ideia de como continuar. Apenas dicas são apreciadas

Respostas

4 bof Dec 04 2020 at 13:30

E se $A$ é um conjunto denso e aberto, então $A-\frac x2$ e $\frac x2-A$são conjuntos abertos densos, portanto sua interseção é um conjunto aberto denso e, em particular, não é vazio. Escolha um ponto$y\in(A-\frac x2)\cap(\frac x2-A)$; então$\frac x2+y\in A$ e $\frac x2-y\in A$, assim $x=(\frac x2+y)+(\frac x2-y)\in A+A$.


Mais geralmente, se$A$ é um conjunto aberto não vazio em $\mathbb R^n$ e $B$ é um subconjunto denso de $\mathbb R^n$, então $A+B=\mathbb R^n$.

Prova. Considere qualquer ponto$t\in\mathbb R^n$; temos que mostrar isso$t\in A+B$.

Desde o mapeamento $x\mapsto t-x$ é um homeomorfismo, $t-A$é um conjunto aberto não vazio. Desde a$B$ é denso, $B\cap(t-A)\ne\emptyset$. Escolha um ponto$b\in B\cap(t-A)$. Então$b\in B$, e $b=t-a$ para alguns $a\in A$, assim $t=a+b\in A+B$.