Demonstração da impossibilidade de traçar um paralelo através de um ponto usando apenas régua.

Question

Pelas respostas a esta pergunta , parece bem saber que é impossível traçar um paralelo a uma linha reta:$\ell$ através de um ponto: $P$, usando exclusivamente uma régua.

Você pode fornecer uma demonstração de tal fato?

Answer 1

Uma construção que usa apenas uma régua pode ser transformada por meio de uma transformação projetiva (também conhecida como homografia) .

Suponha que você tenha uma construção de régua para uma linha $m$ através do ponto $P$ paralelo à linha $\ell$. Suponha que uma transformação projetiva mapeie$P\rightarrow P'$ e $\ell\rightarrow \ell'$. Então, a mesma construção produziria uma linha$m'$ que em geral não é paralelo a $\ell'$. Portanto, temos uma contradição e não existe essa construção de régua.

A demonstração é um pouco mais convincente se a transformação projetiva deixar $P$ e $\ell$invariante. Nesse caso, a mesma construção produziria duas linhas diferentes, quando aplicadas antes e depois do mesmo ponto e linha.