Densidade e distribuição das soluções CONHECIDAS numericamente ou analiticamente de Riemann $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Jan 05 2021

Sabemos que a conjectura sobre a hipótese de Riemann é sobre os zeros não triviais $$(1/2 + r i)$$ para alguns $r \in \mathbb{R}$ da função zeta de Riemann.

Minha pergunta é quanto se sabe sobre a densidade e as distribuições das soluções CONHECIDAS numericamente ou analiticamente de$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

Encontrei uma postagem relacionada, mas foi há cerca de 8 anos, então talvez tenhamos uma atualização melhor?

Densidade média dos zeros não triviais da função zeta de Riemann

Respostas

3 ClaudeLeibovici Jan 05 2021 at 11:16

Na minha humilde opinião, um artigo importante é o publicado no ano $2014$por G.Franca e A.LeClair . Em particular, eles fornecem uma aproximação muito boa e simples (equação$(229)$ no artigo linkado). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ Onde $W(.)$ é a função de Lambert;

Repetindo alguns de seus cálculos para $n=10^k$, temos $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

2 MatsGranvik Jan 19 2021 at 00:11

Derivação do Mathematica 8.0.1 da aproximação de Eric Weisstein para pontos de Gram:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...

Derivação do Mathematica 8.0.1 modificada da aproximação de Eric Weisstein dando pontos de Franca-LeClair:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...

A dificuldade básica em obter uma assintótica precisa para os zeta zeros de Riemann é que a função teta de Riemann-Siegel não é invertível. O usuário reuns apontou para mim que a assintótica exata para os zeros zeta de Riemann é conhecida há cerca de 120 anos e a assintótica exata é o inverso funcional da função teta de Riemann-Siegel, de acordo com a Wikipedia francesa.