Desigualdade para a função de$\arctan(x)$

Aug 17 2020

eu quero mostrar isso$$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$está aumentando em$(0, \infty)$. Posso ver isso claramente traçando-o, mas estou lutando para escrevê-lo rigorosamente. Obviamente, basta mostrar que sua derivada é sempre positiva nesse intervalo (o que também fica claro ao plotá-lo). Nós temos$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$então novamente basta mostrar que$$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(e, mais uma vez, isso fica claro ao plotá-lo). Eu pulei na toca do coelho de calcular a derivada de$g$também (já que é$0$no$x = 0$então seria novamente suficiente mostrar que$g' \ge 0$) e não produz nada imediatamente útil para mim. Por favor, ajude se você puder

Respostas

5 cr001 Aug 17 2020 at 02:58

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$que é derivado de$${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$que é derivado de$$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

2 PacoAdajar Aug 17 2020 at 03:04

Considere em vez disso$ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. Observe que$g(0) = 0$, então basta mostrar que$g'(x) = 0$por$x \ge 0$.

Agora,$\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. Basta assim considerar$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$e mostre que$h(x) \ge 0$por$x \ge 0$. Mas$h(0) = 0$, e$$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$para todos$x$. Isso completa a prova.