Domínio fundamental de uma camada uniforme do plano hiperbólico
Considere a configuração do vértice $(3.4)^3$que produz os ladrilhos octogonais alternados

e pode ser encontrado também aqui :

Não tenho ideia de como o domínio fundamental , resp. A célula primitiva dessa telha parece, como construir e como retratá-la (a partir da qual a telha pode ser criada por algumas traduções no plano hiperbólico). Alguém pode ajudar?
Respostas
A tabela da Wikipedia possui uma coluna "Triângulos fundamentais". Esses pequenos triângulos são os domínios fundamentais (células básicas) usados para construir a telha por reflexos nas bordas do triângulo fundamental. As composições de reflexos nas bordas fornecem translações e rotações.
Observe que, embora os triângulos tenham uma aparência diferente devido à métrica hiperbólica, eles são, na verdade, todas cópias congruentes.
Se você estiver interessado no grupo de simetria subjacente dessas peças, verifique o termo grupo de reflexão ou grupo de Coxeter. Os parâmetros (4.3.3), (4.4.3) etc. especificam as relações do grupo de reflexão gerado pelas três reflexões ao longo das arestas do triângulo fundamental.