É $(4+\sqrt{5})$ um ideal principal de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Question

Considere o domínio integral $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$. É$(4+\sqrt{5})$ um ideal principal de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Não sei a resposta, então qualquer ajuda é bem-vinda.

Observe que $4+\sqrt{5}$ é um elemento irredutível de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, desde sua norma $N(4+\sqrt{5})=11$ é um número primo (aqui como de costume $N(a+b\sqrt{5})=a^2-5b^2$ para cada $a, b \in \mathbb{Z}$) De qualquer maneira$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ não é um domínio de fatoração único, como pode ser facilmente visto a partir das seguintes fatorações $4=2 \cdot 2 = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$. Então a questão não é tão trivial, pelo menos para mim!

Answer 1

Observe que $11=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})\in\langle 4+\sqrt{5}\rangle$, e então temos a cadeia de isomorfismos $$\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5}\rangle}=\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5},11\rangle}\cong\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle t^2-5,4+t,11\rangle}.$$ Além disso, $t^2-5=11-(4-t)(4+t)$, de onde $\langle t^2-5,4+t,11\rangle=\langle 4+t,11\rangle$, e assim o anel acima $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\big/\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ é de fato isomórfico a $$\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle 4+t,11\rangle}\cong\frac{(\mathbb{Z}\big/11)[t]}{\langle \bar{4}+t\rangle}.$$ Agora, $\mathbb{Z}\big/11$ é um campo, então $(\mathbb{Z}/11)[t]$ é um domínio ideal principal, e claramente $\bar{4}+t$ é irredutível - portanto, principal - em $(\mathbb{Z}/11)[t]$. Isso significa que o anel acima é um domínio, e assim$\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ é de fato um ideal primordial de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.