É $P(1)$ verdade?
Recentemente descobri esta prova falsa por indução de que todos os números inteiros positivos são iguais na Gazeta da Matemática :
Deixei $P(n)$ seja a proposição:
"Se o máximo de dois inteiros positivos for $n$ então os inteiros são iguais. "
Claramente $P(1)$é verdade. Assumindo que$P(n)$ é verdade, assuma que $u$ e $v$ são inteiros positivos, de modo que o máximo de $u$ e $v$ é $n + 1$. Então o máximo de$u - 1$ e $v - 1$ é $n$, forçando $u - 1 = v - 1$ pela validade de $P(n)$. Portanto,$u = v$.
Eu vejo isso, quase uma duplicata: Encontre a falácia no tratamento a seguir , e eu entendo, mas entrei em uma discussão com alguém. Eles dizem que o caso básico$P(1)$na verdade, não é verdade, porque, ou os dois inteiros já são iguais, ou eles são diferentes, e apenas o caso em que$P(1)$ é verdade é onde eles já devem ser os mesmos, caso em que não provamos nada.
Eu digo, que o caso especial $n = 1$ força os números a serem iguais, o que torna$P(1)$ verdade.
Quem está certo?
Respostas
O caso básico está correto. A falácia está na etapa de indução, quando você assume que$u-1$ e $v-1$ são inteiros positivos.