É possível que$2^{2A}+2^{2B}$é um número quadrado?
Sejam A e B dois inteiros positivos maiores que$0$. É possível que$2^{2A}+2^{2B}$é um número quadrado?
Estou tendo problemas com este exercício porque tenho a sensação de que a resposta é não, mas não posso elaborar a prova. Até agora o que pensei foi assumir que existe algum número inteiro$C>0$de tal modo que$2^{2A}+2^{2B}=C^2$. Então$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$Eu estava tentando ver se a expressão anterior poderia conter uma contradição, mas não consegui. Tudo o que eu poderia encontrar é que$C$precisa ser um número par, mas isso não parece me levar a lugar nenhum. Eu apreciaria qualquer ajuda.
Desde já, obrigado!
Respostas
Sem perda de generalidade, seja$A>B$. Então$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$é um quadrado implica$2^{2A-2B}+1$é um quadrado como$2^{2B}$é um quadrado. Mas isso é impossível, pois$2^{2A-2B}$é um quadrado.
A resposta de Shubhrajit Bhattacharya fornece uma prova simples e direta de que$2^{2A}+2^{2B}$não pode ser um quadrado. Mas apenas por diversão, vamos terminar a abordagem do OP (que inicialmente pensei que levava a um beco sem saída).
Se$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, então$(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, o que significa que$2^A+2^B+C$e$2^A+2^B-C$são ambos poderes de$2$, e obviamente diferentes poderes de$2$, dizer$2^a$e$2^b$com$a\gt b$e$a+b=A+B+1$. Mas isso implica
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
Se assumirmos agora, sem perda de generalidade, que$A\ge B$, temos
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
Agora$a\gt b$implica$2^{a-b}+1$é um número ímpar maior que$1$, de onde se conclui que devemos ter$A\gt B$(caso contrário, o lado esquerdo é uma potência de$2$, não um múltiplo de um número ímpar maior que$1$). Isso por sua vez implica$b=B+1$e$a-b=A-B$, de onde obtemos
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
em contradição com$a+b=A+B+1$.
Observação: Fiquei um pouco surpreso com a natureza da contradição aqui e tive que verificar meu trabalho cuidadosamente para ter certeza de que não cometi um erro aritmético estúpido.
Apenas faça.
Assuma sem perda de generalidade que$A \le B$assim
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
Então, se isso é um quadrado perfeito, então devemos ter$(2^{B-A})^2 + 1$sendo um quadrado perfeito.
Mas$(2^{B-A})^2$é um quadrado perfeito, então temos dois quadrados perfeitos consecutivos. Deve ser fácil se convencer de que a única vez que isso ocorre é$0^2$e$1^2$. (Prova como adendo).
Então, a única maneira de isso acontecer é se$(2^{B-A})^2 = 0$e$(2^{B-A})^2 + 1=1$.
Mas$2^{B-A} = 0$não é possível.
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Adendo: Então, apenas dois quadrados consecutivos são$0$e$1$.
Prova: Suponha$m^2 = n^2 + 1$. Onde$m,n$são inteiros não negativos.$n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$assim$n < m \le m+1$. Mas os únicos inteiros entre$n$(exclusivo) e$n+1$(inclusive) é$n+1$assim$m = n+1$. E entao$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$assim$2n = 0$e$n = 0$e$m =1$.
Assuma isso$2^{2A}+2^{2B}$é um quadrado perfeito. Sem perda de generalidade, suponha$A \geqslant B$. Então deixa$A-B=x$, Onde$x$é um inteiro não negativo. Segue que temos:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Agora, se o LHS é um quadrado perfeito, então o RHS também deve ser um quadrado perfeito. Segue que$2^{2x}+1$é um quadrado perfeito. Deixe isso ser$n^2$. Temos então:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$Agora, precisamos$n-1$e$n+1$para ambos serem poderes perfeitos de$2$. Isso só pode acontecer para$n=3$. No entanto, mesmo assim, teríamos apenas$2^{2x}=8$o que é impossível como$x$é um número inteiro. Assim, não existem soluções.
Nós teríamos$k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, impossível como$k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.