E se $A$ é Noetherian, então todo ideal fracionário é da forma $x^{-1} \frak{a}$ para algum ideal $\frak{a}$ do $A$

Question

[Declaração] Se $A$ é Noetherian, então todo ideal fracionário é da forma $x^{-1} \frak{a}$ para algum ideal $\frak{a}$ do $A$, $x \in A$.

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[Tentativa]

Eu encontro isso em Atiyah Macdonald Commutative algebra, Capítulo 9, página 96, Fractional ideals.

Eles dizem se $A$ é Noetherian, então todo ideal fracionário é da forma $x^{-1} \frak{a}$ para algum ideal $\frak{a}$ do $A$, $x \in A$ assim, todo ideal fracionário é gerado finitamente.

Está tudo bem "então sempre o ideal fracionário é gerado finitamente" porque $A$ é noetherian tão ideal $\frak{a}$ é gerado finitamente.

No entanto, como mostrar a afirmação acima?

Deixei $M$ser fracionário ideal. Então, por definição, há$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ de tal modo que $\frac{a}{b} M \subseteq A $, assim $M \subseteq \frac{b}{a}A$.

Qual é a próxima etapa?

Answer 1

Deixei $\{m_i\}_{i\in I}$ gerar $M$ como um $A$-módulo. Então como$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ segue que $m_i\in\frac{b}{a}A.$ Assim, para cada $i,$ podemos escrever $$m_i = \frac{b_i}{a},$$ com $b_i\in A.$ Isso implica que \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} Mas agora $\sum_{i\in I}b_i A$ é simplesmente o ideal de $A$ gerado pelo $b_i,$ então terminamos.