E se $m$ é um número inteiro positivo, mostre que $3m+2$ e $5m+3$ são relativamente primos [duplicados]

Dec 07 2020

Tentei provar isso presumindo o oposto. Portanto (3m + 2, 5m + 3) = k, k> 1 3m + 2 = ka; 5m + 3 = kb;

5m + 3 = 3m + 2 + 2m + 1; 5m + 3 = ka + 2m + 1; kb = ka + 2m + 1; 2m + 1 = kb-ka; 2m + 1 = 5m + 3-3m + 2; 2m + 1 = 2m + 1; O que significa que eles não são relativamente primos, mas se você testar isso com números, verá claramente que são. O que estou fazendo de errado ?

Respostas

1 J.W.Tanner Dec 07 2020 at 00:44

Você acabou de provar isso $2m+1=2m+1$.

Experimente este ( algoritmo euclidiano ) para mostrar que o gcd é$1$:

$$5m+3=1(3m+2)+(2m+1)$$

$$3m+2=1(2m+1)+(m+1)$$

$$2m+1=1(m+1)+m$$

$$m+1=1(m)+1$$

1 LionHeart Dec 07 2020 at 00:45

$$(5m+3;3m+2)=(2m+1;3m+2)=(2m+1;m+1)=(m;m+1)=1$$

1 Noname Dec 07 2020 at 00:50

E se $d$ divide ambos $3m+2$ e $5m+3$, também deve dividir $5(3m+2)-3(5m+3)=1$.