E se $p$ é um primo ímpar com $p ≡ 3(\mod 4)$, então $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$
Prove se é verdade. Dê um contra-exemplo se for falso. E se$p$ é um primo ímpar com $p ≡ 3(\mod 4)$, então $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$
Prova. $p ≡ 3(\mod 4)$ implica $4|p-3$. O Teorema de Wilson diz: Se p é primo, então$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ ou equivalente $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ O último implica $$p|(p-1)!+1.$$
Não tenho certeza para onde ir a partir daí, ou se essa é a abordagem correta para começar.
Respostas
Do Teorema de Wilson, sabemos que $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,
Portanto, é suficiente provar que $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$
o que é equivalente a provar que $\frac{p-1}2$ é um número ímpar
E se $p = 4k+3$, então $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ que é um número ímpar.