Encontrando as raízes do polinômio$X^2 - X + 19$dentro$\mathbb Z/61 \mathbb Z$

Aug 18 2020

Por$p = 61$.

Deram-me as raízes de$X^2 + 3$dentro$\mathbb Z/p \mathbb Z$, que são$\pm 27 + p\mathbb Z$.

Eu então devo encontrar as raízes de$X^2 - X + 19$dentro$\mathbb Z/p\mathbb Z$, que encontrei sem usar as informações anteriores.

No entanto, devo usar as informações fornecidas para encontrar as raízes de$X^2 - X + 19$dentro$\mathbb Z/p\mathbb Z$, para o qual não tenho ideia de como seguir em frente.

Respostas

1 J.W.Tanner Aug 18 2020 at 11:49

Complete o quadrado.

$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$

$\iff (2X-1)^2\equiv-75=-3\times 5^2 \bmod61$

$\iff 2X-1\equiv\pm27\times5\bmod61$.

Você pode pegar daqui?