Encontrando Produto Tensor [duplicado]

Question

Deixei $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$

É $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$? Acredito que isso seja verdade, mas não sei como provar isso.

Por favor, ajude-me com uma ideia / dica.

Desde já, obrigado.

Answer 1

Isto é falso. Existe um mapa natural

$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$

que é injetiva, mas não sobrejetiva. Sua imagem consiste no subespaço de$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ consistindo em sequências cujos denominadores são limitados, ou equivalentemente que podem ser colocados sob um denominador comum (basicamente porque tensor por $\mathbb{Q}$ só permite que você divida uma sequência inteira inteira por algum denominador comum) e, portanto, não contém, por exemplo, a sequência $n \mapsto \frac{1}{n}$.

(Por outro lado, esses grupos são abstratamente isomórficos porque ambos são espaços vetoriais $\mathbb{Q}$da dimensão do contínuo. Veja esta resposta matemática. SE, que diz basicamente a mesma coisa.)

Em geral, o produto tensor só tem garantia de preservação de produtos finitos. Você pode mostrar que a tensorização com um módulo preserva produtos infinitos se for finitamente apresentado (que$\mathbb{Q}$não é); veja esta resposta matemática . SE .