Encontrar uma função que é a distância $1$ de $x^2$ ao longo de seus normais [duplicado]

Question

Então, recentemente pensei em um problema que tentei resolver de várias maneiras, mas não consegui. É muito simples de descrever ...

Encontre a função que é distância $1$ da parábola $y=x^2$ao longo de seus normais. Visual do que quero dizer .

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Esta é uma das coisas que tentei ...

Esta função obteria o correspondente $x$ valor na função que queremos encontrar de um $x$ valor na curva $y=x^2$. O inverso daria o correspondente$x $ valor em $x^2$ para um dado $x$ valor que tornaria trivial determinar o $y$ valor. $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ Isso pode ser resolvido para isso ... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ Porém não sei como obter o inverso desta função.

Answer 1

$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ então $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ ou, de acordo com Wolfy, $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$.

Este é um quártico em $x$ que pode ser resolvido, mas é incrivelmente confuso como esperado.

Answer 2

Eu encontrei equações paramétricas do locus

$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$

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Answer 3

Podemos modificar compensando a parametrização padrão. Usava$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ no gráfico (usado o deslocamento de 0,2 em vez de 1,0 para maior clareza do gráfico).

f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic]
 r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]

Adicionamos ou removemos distâncias ao longo da normal e da tangente com deslocamento $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$

$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$