Encontre a probabilidade de que pelo menos uma válvula esteja com defeito quando duas válvulas são sorteadas aleatoriamente.

Question

Declaração do problema:

• A fábrica A produz $10\ \%$ válvulas defeituosas
• e outra fábrica $B$ produz $\mbox{$20 \ \%$}$ válvulas defeituosas.
• Uma bolsa contém $4$ válvulas de fábrica $A$ e $5$ válvulas da fábrica B.
• Se duas válvulas forem retiradas aleatoriamente da bolsa, encontre a probabilidade de que pelo menos uma válvula esteja com defeito.

Esta pergunta foi feita aqui uma vez. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma válvula esteja com defeito.

Agora, claramente, probabilidade de desenhar pelo menos uma válvula com defeito) = 1- Probabilidade de que ambas as válvulas tiradas sejam válvulas sem defeito.
Usando isso, a probabilidade necessária é$ =1-\left(\frac{\binom{4}{2}}{\binom{9}{2}}(0.9)^2+\frac{\binom{5}{2}}{\binom{9}{2}}(0.8)^2+\frac{\binom{4}{1}\binom{5}{1}}{\binom{9}{2}}(0.9)(0.8)\right)=\frac{517}{1800}, \label{1}\tag{1} $ como OP também mostrou na postagem vinculada acima.

No entanto, é aqui que surge a confusão: como
alternativa, vamos considerar os seguintes eventos mutuamente exclusivos:

1. Ambas as válvulas estão com defeito e são de fábrica $A$
2. Ambas as válvulas estão com defeito e são de fábrica $B$
3. Ambas as válvulas estão com defeito (uma de $A$ e o outro de $B$)
4. Uma válvula é retirada de $A$ e está com defeito enquanto o outro é retirado $B$ e não tem defeito.
5. Uma válvula é retirada de $B$ e está com defeito enquanto o outro é retirado $A$ e não tem defeito.
   

Agora, a probabilidade necessária = Soma de todas as probabilidades de eventos mutuamente exclusivos listados acima.
Vamos denotar a probabilidade para o iº evento listado acima por$P(i)$, Onde $i=1,2,3,4,5$
$P(1)=\frac{^4C_2}{^9C_2}(0.1)^2\;\;,P(2)=\frac{^5C_2}{^9C_2}(0.2)^2\;\;,P(3)=\frac{^4C_1 \times ^5C_1}{^9C_2}(0.1)(0.2)\;\;$
$P(4)=\frac{^4C_1\times ^5C_1}{^9C_2}(0.1)(0.8)\;\; ,P(5)=\frac{^4C_1 \times ^5C_1}{^9C_2}(0.9)(0.2)\;\;$
Portanto, a probabilidade necessária é $$P=\sum_{i=1}^{5}P(i)=1/600+1/90+1/90+2/45+1/10=303/1800 \label{2}\tag{2}$$

Eu quero saber por que as respostas em (\ ref {1}) e (\ ref {2}) acima são diferentes . Na verdade, no link acima, OP havia mencionado que a resposta dada em seu livro foi$303/1800$, enquanto os comentários e respostas a essa postagem mencionaram a resposta como errada. Mas$(2)$mostra claramente que não há nada de errado com a resposta. Por favor ajude. Obrigado.

Answer 1

O erro vem de dois casos que você está perdendo:

• Ambas as válvulas são retiradas de $A$ e exatamente um está com defeito
• Ambas as válvulas são retiradas de $B$ e exatamente um está com defeito

A probabilidade de um desses eventos ocorrer é $$ \frac{\binom{4}{2}}{\binom{9}{2}} \times 0.1 \times 0.9 \times 2 + \frac{\binom{5}{2}}{\binom{9}{2}} \times 0.2 \times 0.8 \times 2 = \frac{54+160}{1800} = \frac{214}{1800} = \frac{517}{1800} - \frac{303}{1800} \,.$$

A resposta de OP está correta.