Encontre todas as 3 soluções numéricas para $x[(x-2)^2+1]=6$

Aug 18 2020

Encontre todas as 3 soluções numéricas para $x[(x-2)^2+1]=6$

Usei o método de tentativa e erro para encontrar soluções inteiras para $x$, e descobri que uma solução possível é $x=3$. No entanto, existem 2 outras soluções não inteiras e não sei como encontrá-las.

Agradeço qualquer ajuda, obrigado.

Respostas

2 SiongThyeGoh Aug 18 2020 at 16:30

$$x(x^2-4x+5)=6$$

$$x^3-4x^2+5x-6=0$$

$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$

Você apenas tem que verificar o discriminante de $x^2-x+2$ é negativo e conclui que não existe outra raiz real.

Se você estiver interessado em encontrar as outras raízes, pode usar a fórmula quadrática para encontrar as raízes restantes.

YvesDaoust Aug 18 2020 at 16:51

Por tentativa e erro educados:

Se você presumir que o exercício tem uma solução fácil, um número inteiro é provável. $6$ fatores como $2\cdot3$ e como o segundo fator é um quadrado perfeito mais um, isso exclui $3$. Então$x=3$ é um bingo!

Agora mudando o desconhecido com $x:=z+3$, nós obtemos

$$z^3+5z^2+8z=0$$ ou $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ cuja resolução é fácil.

Bernard Aug 18 2020 at 16:52

Procurando por soluções inteiras, a equação $x[(x-2)^2+1]=6$ é equivalente a $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ A segunda equação do primeiro sistema implica que $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$. Infelizmente, os únicos quadrados mos.$3$ está $0$ e $1$, então este primeiro sistema não tem solução.

A segunda equação no segundo sistema significa $(x-2)^2=1$, ie $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $. Somente$x=3$ é compatível com a primeira equação.

Portanto, há uma única solução inteira. Para as outras soluções, podemos expandir o lhs para obter a equação cúbica, divisível por$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$

A equação quadrática $x^2-x+2=0$ tem raízes conjugadas complexas: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$