Energia extra em sistemas massa-mola dupla
Abaixo está um sistema de mola de massa dupla colocado em uma superfície lisa (sem atrito), vamos assumir a constante da mola como$k$nesse caso.
Agora, se criarmos uma pequena extensão na primavera de valor$x_o$, as duas massas realizarão movimento harmônico simples (SHM) individualmente com amplitudes$A_1$e$A_2$respectivamente tal que$A_1$+$A_2$=$x_o$. Agora a energia total do referido sistema é dada por$\frac{1}{2}kx_o^2$e as energias de suas oscilações individuais seriam$\frac{1}{2}kA_1^2$e$\frac{1}{2}kA_2^2$. Mas$\frac{1}{2}kA_1^2$+$\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$. Então, para que essa energia extra está sendo usada? Claramente não está sendo usado para SHM, pois não está sob a energia das oscilações individuais das massas. Portanto, não posso dizer para que está sendo usado!
Eu tenho outra pergunta também. Suas energias cinéticas máximas individuais estão relacionadas da seguinte forma:$\frac{1}{2}mv_1^2$+$\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, Onde$v_1$e$v_2$são as velocidades máximas das massas individuais. Mas a energia cinética máxima de um corpo realizando SHM deve ser igual à sua energia potencial máxima! Então$\frac{1}{2}kA_1^2$deve ser igual a$\frac{1}{2}mv_1^2$e da mesma forma$\frac{1}{2}kA_2^2$deve ser igual a$\frac{1}{2}Mv_2^2$. Mas isso iria contra nossa equação de que$\frac{1}{2}kA_1^2$+$\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! Então, estou bastante confuso sobre o que está acontecendo aqui!
Então, alguém pode me explicar isso?
Respostas
Você deve analisar ambas as massas juntas como um único sistema SHM - você não pode dividi-las em dois componentes SHM independentes.
Suponha que começamos com a mola em seu comprimento natural e movemos a massa$m$à esquerda por uma distância$x_1$e massa$M$à direita por uma distância$x_2$. A força que a mola exerce sobre ambas as massas é agora$k(x_1+x_2)$. Então, se movermos massa$m$a partir de$x_1=0$para$x_1=A_1$e nós movemos massa$M$a partir de$x_2=0$para$x_2=A_2$então a energia total armazenada na mola é
$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$
Onde$y=x_1+x_2$, e
$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$
então não há "energia extra".
Quando soltamos as massas a equação do movimento da massa$m$é
$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
e para massa$M$isso é
$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
Somando estes juntos obtemos
$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$
Onde$k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, e$y(0) = x_0$,$\frac{dy}{dt}(0) = 0$. Então
$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
De forma similar
$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
Quando a mola retorna ao seu comprimento natural,$y=0$e$\cos \sqrt{k'}t = 0$assim$\sin \sqrt{k'}t = 1$. Assim, a energia cinética do sistema é
$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$
Em outras palavras, toda a energia potencial armazenada na mola foi convertida em energia cinética, como esperado.
Deixar$x$ser a magnitude do deslocamento máximo de sua posição de equilíbrio de massa$m$e$X$ser a magnitude do deslocamento máximo de sua posição de equilíbrio de massa$M$.
A conservação do momento do sistema requer$m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.
Para este sistema a frequência natural de oscilação é dada por$\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.
A energia cinética máxima do sistema é$\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.
Colocando o valor de$\omega^2$e multiplicando dá a energia cinética como
$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.
É possível fazer uma análise mais geral para mostrar que a energia total do sistema é constante.