equação funcional: $f(f(x))=6x-f(x)$ [duplicado]

Question

Prove que existe uma função única $f:R^{+}\rightarrow R^{+}$ $$f(f(x))=6x-f(x)$$

Minha tentativa

Definir $a_{k+1}=f(a_k)$ então temos a relação recursiva $$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$$ cuja equação característica é $$x^{k+2}+x^{k+1}-6x^k=0$$ $$x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3 ,x=2$$ ie $$a_k=c_1 {(-3)}^k+c_2{(2)}^k$$ .Como $x>0 \Rightarrow a_0>0\Rightarrow 2c_2>3c_1$

estou preso agora porque não fui capaz de encontrar $c_1,c_2$

Answer 1

Após o trabalho do OP: Para$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$, levar $a_k=t^k$ para obter $t_{1,2}=2,-3$. Escolha apenas raiz positiva para escrever$a_k=C 2^k \implies a_0=C=x$ (por suposição), próximo $a_1=C. 2=2x$. Por suposição$f(x)=a_1.$ Então você consegue $f(x)=2x.$

Nota: aqui $$a_0=x, a_1=f(x),a_2=ff(x), a_3=fff(x),....,a_k=f^{k}(x).$$