Espaço de Banach de topologia fraca com dual separável
Deixei $B$ seja um espaço de Banach com dual separável e deixe $(f_n)$ ser denso e contável em $B^*$. Deixei$\tilde{\tau}$ ser a topologia inicial associada à coleção de mapas $f_n : B\rightarrow \mathbb{R}$.
Minha pergunta : é$\tilde{\tau}$ a topologia fraca padrão em $B$?
Minha tentativa :
Deixei $\tau$ denotam a topologia fraca em $B$. Obviamente,$\tau$ faz todo o $f_n$é contínuo. Ser$\tilde{\tau}$ o menor fazendo isso, $$\tilde{\tau}\subseteq \tau.$$
Por outro lado, tentei raciocinar com base nessas topologias. Corrigir arbitrário$x_0 \in B$, $\epsilon >0$ e $g_1,...,g_N \in B^*$ e lembre-se disso $U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N):= \{x \in B \colon |g_i(x-x_0)|< \epsilon, \ i=1,...,N\}$ é um bairro aberto de $x_0$ dentro $\tau$. Para concluir, basta mostrar que existe uma vizinhança aberta$\tilde{U}$ do $x_0$ dentro $\tilde{\tau}$ de modo a $\tilde{U}\subset U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N)$.
Meu palpite é pagar algum $\tilde{\epsilon}$ em exigir $f_{n_i} \approx g_i$ para todos $i=1,..,N$ e definir $\tilde{U}:= U_{x_0}(\tilde{\epsilon},f_{n_1},...,f_{n_N})$, mas estou lutando para limitar o termo $|f_{n_i}(x)-g_i(x)|$ uniformemente em $x$.
Respostas
E se $(f_n)$ é suposto ser denso na norma de $B^{*}$então isso é muito fácil. Deixei$f \in B^{*}$. Existe$n_1<n_2<...$ de tal modo que $\|f_{n_i}-f\| \to 0$. Isso implica que$f_{n_i} \to f$ uniformemente em qualquer bola em $B$. Desde cada$f_{n_i}$ é contínuo escrito $\overline {\tau}$ segue que $f$ também é contínuo, escrito $\overline {\tau}$. Assim, todo$f \in B^{*}$ é contínuo escrito $\overline {\tau}$. Conseqüentemente$\tau \subset \overline {\tau}$.