Estou fazendo as Fórmulas da Vieta corretamente?
Recebi este exercício: $x^2 - (m+3)x + m + 2$, Devo verificar quais valores reais do parâmetro $m$ pode ser usado para que isso funcione:
$1/x_1 + 1/x_2 > 1/2$ (Eu multiplico ambos os lados por 2x1x2) e obtenho o seguinte:
$2(x_1 + x_2) -x_1x_2 > 0$
quais resultados para $m > -4$ usando as fórmulas de Vieta
Depois eu tenho outro argumento, $x_1^2 + x_2^2 < 5$
Depois de resolver eu entendo isso $m$ está no intervalo $(-4,0)$
Meu livro me diz o resultado final para possível $M$ as soluções estão no intervalo $(-2,0)$.
O que estou fazendo errado?
Respostas
Você não pode multiplicar por $x_1x_2$ já que você não sabe se é uma quantidade positiva ou negativa (lembre-se que o sinal da desigualdade teria que trocar se fosse negativo e permanecer o mesmo caso contrário).
Lembre-se do que as fórmulas de Viete dizem que $x_1+x_2 = m+3$ e essa $x_1x_2 = m+2$. Você pode usá-los se simplificar o lado esquerdo:$$\frac 1{x_1} + \frac1{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{m+3}{m+2},$$ então você quer garantir que $m$ é tal que $$\frac{m+3}{m+2}>\frac12.$$ Não podemos nos multiplicar por $m+2$já que não sabemos seu sinal. Podemos multiplicar por$(m+2)^2$, isso certamente não é negativo. Isso nos dá$$(m+3)(m+2)>\frac12(m+2)^2$$ que simplifica para $$(m+2)(m+4)>0.$$ Um produto de dois números é $>0$ qualquer um se eles forem ambos $>0$, ou se ambos são $<0$.
No primeiro caso (quando $m+2$ e $m+4$ são ambos positivos), temos $m>-2$ e $m>-4$, o que é simplesmente equivalente a dizer $m>-2$.
No segundo caso (quando ambos são negativos), temos $m<-2$ e $m<-4$, o que é o mesmo que dizer que $m<-4$.
Então, em resumo, sua condição é equivalente a dizer que $$\boxed{\text{$m <-4$ or $m> -2$}}.$$
Em desigualdades, geralmente é uma boa ideia combinar as frações se você não tiver certeza sobre seus sinais. Para exemplos, veja aqui e aqui .
Agora $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > \frac 12 \iff \frac{2x_2+2x_1-x_1 x_2}{2x_1 x_2} >0 \\ \iff \frac{2(m+3)-m-2}{2(m+2)} = \frac{m+4}{2(m+2)}>0 \iff (m+2)(m+4) > 0 \\\iff m \in (-\infty, -4)\cup (-2, \infty)$$ E $$x_1^2+x_2^2 < 5 \iff (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 < 5 \\\iff (m+3)^2-2(m+2)-5 = m(m+4) < 0\\ \iff -4<m<0 $$
Portanto $-2<m<0$.