Exemplo de função com uma propriedade curiosa

Question

Denotado por $L^1(0,1)$ o espaço de funções integráveis ​​de Lebesgue no intervalo $(0,1)$.

$\textbf{Question:}$ Existe uma função $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ de tal modo que:

1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?

Estou supondo que a resposta é positiva e o objetivo é construir $F$ de tal modo que $F$ e $F'$se comportar adequadamente perto de zero. Parece bastante delicado. Eu verifiquei isso$F$ não pode ser um polinômio ou uma função de potência (desde então $F'\simeq \frac{F}x$, portanto, as condições 2 e 3 não podem ocorrer simultaneamente).

Eu apreciaria qualquer dica!

Answer 1

Essa função não existe. Em primeiro lugar,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ quando $a,b\to 0$. assim$F$ tem um limite $c$ no ponto 0. Se $c\ne 0$, então 1) falha. assim$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.

Próximo, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ Agora $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ Considere dois casos:

1. $F$ fixou o sinal próximo a 0. Em seguida, escolher $a,b$ perto de 0 concluímos de (1) e (2) que $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ converge em 0, mas isso é equivalente à convergência de $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ de que precisamos.

2. $F$ tem infinitos zeros em qualquer vizinhança de 0. Então, escolhendo $(a_k,b_k)$ sendo intervalos máximos de inclusão do conjunto aberto $\{x:F(x)\ne 0\}$ e aplicando (2) para $a=a_k,b=b_k$ nós ligamos $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ através da $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Aqui$c=b_1$, por exemplo.