Existe mais de um sólido pseudo-catalão?
Esta pergunta foi feita no MSE há um ano. A motivação para esta questão pode ser encontrada em outras questões MSE aqui , aqui ou aqui .
Sólidos convexos podem ter todos os tipos de simetrias:
os sólidos platônicos são transitivos de vértice e face, o que significa que há um subgrupo das rotações do espaço tridimensional que pode trazer qualquer vértice para outro (e o mesmo para as faces). A lista é limitada a 5 sólidos platônicos.
sólidos transitivos de face (ou isohedral) incluem os sólidos catalães, a (família infinita) de dipiramídeos e a (família infinita) de trapezohedra. Observe que, sem outras restrições, esses sólidos podem vir em famílias infinitas: o dodecaedro rômbico tem um número infinito de primos deltóides (ver dodecaedro deltóide ); ele também se encaixa em uma família de dodecaedros de um parâmetro chamada piritoedros ; o dodecaedro e o tetraedro triakis se encaixam na família de um parâmetro chamada tetartóide ; dipiramides e trapezoedro também admitem todos os tipos de deformações além do número de faces.
existe uma simetria muito mais fraca que se pode pedir. Vamos chamá-lo de pseudo-catalão (por falta de nome melhor). Consertar um "centro"$C$. O sólido convexo é pseudo-catalão, se cada face pode ser enviada para outra face por uma rotação com centro$C$ ou um reflexo (cujo plano passa $C$) Observe que não há exigência de que esta rotação (+ reflexão) preserve todo o sólido. Um exemplo de tal sólido que não é um sólido catalão é o icositraedro deltóide giratório .
Pergunta: existe uma lista de sólidos que são pseudo-catalães, mas não catalães? [Mais desesperadamente: existe algum desses sólidos ao lado do icositraedro deltóide giratório?]
- observe que haveria uma última categoria, onde o sólido é convexo e todas as faces são congruentes (um sólido monohédrico convexo). A diferença com a categoria anterior é que as traduções agora são permitidas. Em particular, para verificar se um sólido pertence à categoria anterior, a escolha de$C$(e o fato de que todas as rotações e reflexões são restringidas por este ponto) é importante. Exemplos de tais sólidos são o prisma triangular triângular e a dipirâmide quadrada giroelongada .
Respostas
Esta é apenas uma versão detalhada dos comentários.
Como M. Winter apontou, há uma família de poliedros com$4k$-faces que se encaixam na conta ($k=5$é a icosaedra). Aqui está uma imagem para o caso$k=4$ e $k=6$.
Comece com um antiprisma sobre um $k$-gon (diga o mais baixo $k$-gon tem vértices com coordenada $(e^{i \pi (2j+1)k},0)$ e os vértices superiores $(e^{i \pi 2j k},h)$ Onde $0 \leq j <k$ e $h$é um número real; Estou usando números complexos para o$x$ e $y$coordenadas). Cole uma pirâmide em cada$k$-gon (a ponta das pirâmides estão em $(0,0,s)$ e $(0,0,h -s)$. O Centro$C$ está em $(0,0,\tfrac{h}{2})$.
Para os triângulos serem congruentes, pode-se escrever $h$ como a função de $s$ (Está $h = \tfrac{ 2\cos(\pi/k)-1+s^2}{2s}$) E se$k>3$, exigindo que cada rosto esteja à mesma distância de $C$ (ie $C$ será o centro de uma esfera interna) fixará um valor de $s$ (Está $=\sqrt{2\cos(\pi/k)+1}$) O ponto das faces que minimiza a distância para$C$ são [em vez disso, parecem ser] o circuncentro dos triângulos (apenas marque isso para $k=4,6$ e $7$ [Eu estava com preguiça de fazer a álgebra geral $k$]).
Daí segue-se que esses sólidos são pseudo-catalães (eles não podem ser catalães [se $k \neq 5$] uma vez que os vértices na ponta das pirâmides têm grau $k$ enquanto os outros vértices têm grau 5. Portanto, não há simetria global que envie uma face das pirâmides para o antiprisma.
Eu tenderia a acreditar que esses sólidos estão em uma família maior com triângulos escalenos. Uma construção semelhante baseada em trapezohedra (em vez de dipiramides) seria divertido (mas não tenho ideia de como fazer isso no momento).
EDIT: o caso $k=3$é singular: se você forçar os planos das faces a tocarem a esfera interna, você obtém um trapezoedro (cujas faces são losango; ou seja, os triângulos da pirâmide se alinham perfeitamente com os do antiprisma). Se você ainda usar o parâmetro restante de modo que o ponto mais próximo de$C$ é o mesmo em cada face [triangular], na verdade dá o cubo (!).
Aqui está outro exemplo (e esperançosamente mais simples) (embora definitivamente não seja uma lista completa de possíveis sólidos). Dê uma$k$-dipiramide (os vértices equatoriais têm $xy$-coordenar quais são $k^\text{th}$- raízes de unidade e $z=0$) Que as pontas das pirâmides estejam em$(0,0,\pm 1)$. Quando$k$ é mesmo (então $k \geq 4$), pode-se cortar esta pirâmide ao longo do plano que passa pelas pontas e as raízes da unidade $\pm 1$. Isso corta a dipirâmide ao longo de um quadrado. Agora gire uma das duas peças em 90 ° e cole-as novamente. Os sólidos resultantes (que deveriam, suponho, ser chamados de dipiramidas giratórias) satisfazem as condições exigidas.
Para ver que estes não são sólidos catalães (a menos que $k=4$, que é só pegar o oitavo, recortar e montar novamente) observe que existem dois tipos de faces: as que tocam o quadrado onde ocorreu a colagem e as demais.
Aqui estão algumas fotos de $k=6$ e $k=8$.
