Existe uma maneira padrão de equipar uma álgebra sigma com uma álgebra sigma?

Question

Suponha $(X, \mathcal X)$é um espaço mensurável. Eu gostaria de dizer algo sobre funções mensuráveis ​​assumindo valores em$\mathcal X$, mas para fazer isso, eu preciso $\mathcal X$ estar equipado com uma álgebra sigma.

Existe uma maneira canônica de equipar $\mathcal X$ com uma sigma-álgebra $\mathcal F_\mathcal X$ para que possamos falar sobre funções mensuráveis ​​de $(X, \mathcal X)$ para $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Algumas ideias que me ocorreram:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Mas não vejo que isso seja encerrado em complementos.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Mas eu não vejo que isso seja fechado para sindicatos contáveis.

Answer 1

Pelo que eu sei, não existe uma abordagem padrão para construir essa estrutura mensurável.

Precisávamos de algo assim para alguns trabalhos generalizando os processos de decisão de Markov (vistos do ponto de vista da Ciência da Computação) com “não determinismo”. Você pode verificar a referência no arXiv ( DOI ).

A definição que funcionou para nós foi declarar um subconjunto de $\mathcal{X}$ mensurável se estiver no $\sigma$-álgebra $H(\mathcal{X})$ gerado pelos conjuntos $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, Onde $\xi$ alcança mais $\mathcal{X}$. Isso é principalmente motivado pela construção do hiperespaço mensurável de subconjuntos fechados de um espaço topológico.

Na verdade, restringindo-se a algum subconjunto adequado de $\mathcal{X}$ parece mais sensato, uma vez que o resultado $\sigma$-algebra é enorme: se bem me lembro, uma vez $X$ é infinito e $\mathcal{X}$ separa pontos, então $H(\mathcal{X})$ não pode ser gerado de forma contável.