Existem sistemas caóticos que não podem ser previstos mesmo no limite de condições iniciais de precisão infinita e recursos infinitos?
Eu tenho uma compreensão leiga da teoria do caos , que parece indicar que usando condições iniciais de precisão finita e recursos de computação finitos, sistemas caóticos não podem ser previstos após um período de tempo.
Minha pergunta é o que acontece no limite de aumentar a precisão das condições e recursos iniciais até o infinito: o sistema permanece caótico ou a janela de previsão também diverge até o infinito?
Considere especificamente as seguintes condições:
Temos um sistema caótico.
Calculamos a janela de tempo de previsão $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ dada uma margem de erro finita $e$, para uma precisão finita das condições iniciais $p$, e um computador com memória finita $m$ operando a uma velocidade finita $s$.
Calculamos a mesma janela de tempo de previsão $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ quando precisão, memória e velocidade divergem ao infinito juntas (mas $e$ permanece finito).
Se, para todos os sistemas caóticos, a janela de tempo diverge até o infinito, a resposta a essa pergunta é não .
Se algum sistema for encontrado onde $t_\text{pred}$pode permanecer finito, então a resposta a esta pergunta é sim .
Visto que esta pergunta parece muito longe de ser prática, acrescentarei uma motivação: sinto que a resposta a esta pergunta tem um impacto importante na teologia. Ou seja, se a resposta for sim, então isso excluiria logicamente a possibilidade de um deus onisciente e não intervencionista (futuro incluído) que projetou o universo com um propósito, porque ele / ela não seria capaz de fazer esses cálculos, mesmo que ele / ela era infinitamente poderoso.
Respostas
Uma propriedade crucial dos sistemas caóticos é que eles são determinísticos: não há elemento de aleatoriedade no modelo. As condições iniciais determinam exatamente o futuro do sistema.
Se eu simular um modelo caótico com as mesmas condições iniciais¹ em um computador real duas vezes, obtenho exatamente o mesmo resultado. Isso só difere da verdadeira solução para minhas condições iniciais devido à precisão finita da aritmética de ponto flutuante (e, como o sistema é caótico, essa diferença pode ser grande) ². E, claro, no caso puramente hipotético em que quero simular um sistema real isolado para o qual tenho um modelo exato, tenho o problema de não poder representar perfeitamente minhas condições iniciais reais como números de ponto flutuante.
Se eu tiver precisão arbitrária e recursos de computação infinitos disponíveis, bem como conhecimento perfeito das condições iniciais, posso prever um sistema caótico perfeitamente simplesmente simulando-o. Para um sistema de tempo discreto, as únicas razões pelas quais preciso de memória infinita e velocidade de computação são armazenar e trabalhar com números de precisão arbitrária³ (e, claro, se eu quiser ir infinitamente para o futuro). Para um sistema de tempo contínuo, há outro motivo pelo qual preciso da velocidade de computação infinita, a saber, para realizar a integração numérica com intervalos de tempo arbitrariamente finos.
¹ e as mesmas regras da aritmética de ponto flutuante
² para um sistema de tempo contínuo, a imprecisão inerente da integração numérica também adiciona um erro
³ já que acabo com um número infinito de dígitos