Explicação da derivação da fórmula para a soma de uma sequência aritmética dos primeiros n termos

Aug 16 2020

Estou tentando entender a derivação da fórmula para a soma de uma seqüência aritmética do primeiro $n$ termos.

Não entendo quais regras ou raciocínio permitem que duas sequências sejam adicionadas na ordem inversa para eliminar a diferença comum $d$ e chegar à conclusão de que a soma de uma seqüência aritmética do primeiro $n$ termos é a metade $n$vezes a soma do primeiro e do último termos. Esta parece ser uma maneira inventada de eliminar a diferença comum do expandido com base em algum conhecimento inexplicado de$d$ e sequências aritméticas em geral.

Pesquisei essa questão em livros de matemática e online e cada vez que a derivação é apresentada, não consigo encontrar uma explicação de por que seria evidente para um matemático que, adicionando as sequências, eles derivariam a fórmula.

O fundo.

A derivação da fórmula conforme explicada em muitos livros didáticos e sites online é a seguinte.

  1. Para encontrar a soma de uma sequência aritmética para o primeiro $n$ termos $S_n$, podemos escrever a soma em relação ao primeiro termo $a_1$ e a diferença comum $d$.

$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$

  1. Também é possível escrever a sequência na ordem inversa em relação ao último termo $a_n$.

$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$

  1. Quando adicionamos essas sequências, derivamos a fórmula para a soma dos primeiros n termos de uma sequência aritmética.

$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$

  1. Porque eles são $n$ muitas adições de $(a_1 + a_n)$ a longa soma é simplificada como $n(a_1 + a_n)$ e resolvendo para $S_n$ chegamos à fórmula.

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Infelizmente, não consigo encontrar o raciocínio em nenhuma dessas explicações sobre o motivo pelo qual as duas sequências (ordem normal e reversa) foram adicionadas. Para mim, faz sentido que eles tenham sido adicionados, mas não por que essa foi a próxima etapa lógica ao derivar a fórmula.

A questão.

Por que as duas sequências foram adicionadas para derivar a fórmula e o que isso mostra sobre a natureza das sequências aritméticas?

Em minha tentativa de descobrir isso, observei que, ao estudar muitas sequências, podemos ver que a razão da soma da sequência para o primeiro $n$ termos $S_n$ e a soma do primeiro e último termos $(a_1 + a_n)$ é sempre $\frac{n}{2}$para qualquer seqüência aritmética. Então, possivelmente, poderia ser dito por indução que, se para qualquer sequência aritmética, é verdade que:

$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$

Então também deve ser verdade que:

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

No entanto, para mim, isso ainda não explica por que a derivação decide adicionar as duas sequências.

Respostas

2 RossMillikan Aug 16 2020 at 09:18

Comutatividade de adição permite permutar a soma de dois adendos. Por indução no número de adendos, você pode estender isso a qualquer número finito de adendos. A associatividade permite agrupá-los como quiser.

Mars Aug 16 2020 at 09:14

Pense na soma dos números dos triângulos. Para adicionar os primeiros n números, você pega o primeiro e o último e os combina para obter n + 1, depois faz o mesmo com o segundo e o penúltimo para obter n + 1. Para ter uma ideia desse processo, olhe parahttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. Aqui na sua pergunta, o seu triângulo é um pouco torto e não chega a um ponto, mas a ideia continua a mesma :).