Explicação da prova de Shakarchi de 1.3.4 na Análise de Graduação de Lang

Question

No momento, estou trabalhando na Análise de Graduação de Lang e tentando entender a prova de Rami Shakarchi do seguinte:

Deixei $a$ ser um número inteiro positivo tal que $\sqrt a$é irracional. Deixei$\alpha = \sqrt a$. Mostre que existe um número$c > 0$ de modo que para todos os inteiros $p, q$, com $q > 0$ temos $\mid q \alpha - p \mid > c/q$.

Eu adicionei uma captura de tela da prova de Shakarchi abaixo:

Meu entendimento desta prova é o seguinte:

A sugestão dada por Lang é racionalizar $q \alpha - p$, ou seja, pegue o produto $(q\alpha - p)(-q\alpha - p)$. Fazer isso rende

$(q\alpha - p)(-q\alpha - p) = -q^2 a + p^2$

Recall $q, a, p \in \mathbb{Z}$, com $q > 0$ e também $\sqrt a \notin \mathbb{Q}$, em particular $a \neq 0$. Então$\mid(q\alpha - p)(-q\alpha - p)\mid \geq 1 \leftrightarrow \mid q\alpha - p\mid \geq \frac{1}{\mid -q\alpha - p\mid} = \frac{1}{\mid q\alpha + p\mid}$

Onde eu caio um pouco é na próxima parte - nós escolhemos $c$ de tal modo que $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$. Suponho que escolhemos$c$ esta forma de lidar com o caso onde $\mid \alpha \mid < 1$ de modo a $\frac{1}{3\mid\alpha\mid} > 1$. Se for esse o caso, então podemos realmente escolher qualquer múltiplo positivo de$\mid \alpha \mid$ no demoninator, ou seja, $\frac{1}{2\mid\alpha\mid}$ ou $\frac{1}{4\mid\alpha\mid}$ funcionaria tão bem.

Agora, usando o resultado obtido em $\textbf{1}$ e nossa hipótese, estabelecemos a desigualdade em $\textbf{2}$. Não sei como a desigualdade mais à esquerda é obtida - eu sei que por hipótese$\mid \alpha - p/q \mid < \mid \alpha\mid$ e nós adicionamos $\mid 2\alpha \mid$ para ambos os lados para obter a desigualdade mais à direita.

Então, na desigualdade final, não está claro para mim como sabemos que $\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$.

Estou procurando uma resposta para estes dois pontos:

1. Uma explicação para as etapas que descrevi acima como sendo pouco claras, ou seja, a escolha de $c$ (por que escolhemos $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$), a desigualdade mais à esquerda em $\textbf{2}$, e a desigualdade do meio em $\textbf{3}$.
2. Esta prova foi bastante pouco intuitiva para mim - eu nem sequer considerei racionalizar $q \alpha - p$quando comecei a trabalhar neste problema. Eu imagino que é o tipo de coisa que você começa a melhorar em ver com a prática resolvendo problemas como este. Ainda assim, existe possivelmente uma prova mais simples ou mais direta?

Answer 1

É a desigualdade do triângulo

$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - \alpha +\frac pq| \le |2\alpha| + |-\alpha + \frac pq|=|2\alpha| + |\alpha -\frac qp| < |2\alpha| + |\alpha|=3|\alpha|$

A razão do $3$ foi escolhido porque: Precisamos obter $|\alpha -\frac pq|$maior do que alguma coisa. Mas se$|\alpha-\frac pq|< |\alpha|$ não podemos obter diretamente porque só sabemos $|\alpha-\frac pq|$é menor do que algo. Em vez disso, temos que trabalhar com$|\alpha + \frac pq|$sendo maior do que alguma coisa. Mas como podemos converter$|\alpha + \frac pq|$ para algo envolvendo $|\alpha -\frac pq|$? Bem, o jeito que eles fizeram foi$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - (\alpha - \frac pq)|$. Mas isso gera dois extras$\alpha$está nas obras.

"não está claro para mim como sabemos que$\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$"

Bem, voce tem $|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|$

então $q|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|q$

$0< |q\alpha + p| < 3|\alpha|q$

$\frac 1{3|\alpha| q} < \frac 1{|q\alpha + p|}$.

Answer 2

A desigualdade mais à esquerda em 2 também me levou um pouco para descobrir :)

É a desigualdade do triângulo:

$$|a|+|b| \geq |a+b| \,.$$

A desigualdade do meio em 3 é apenas a desigualdade geral de 2 .

A escolha de $c$ pode ser mais flexível, mas acho que usar 3 apenas faz com que todos os itens acima se cancelem e funcionem mais bem.