Expressão analítica para um potencial "muffin-tin" de rede atômica para fins de ilustração e cálculos de espalhamento simples

Dec 03 2020

Antes de mergulhar profundamente (veja as perguntas relacionadas abaixo) para calcular a difração de elétrons de 20 a 200 eV das superfícies de cristal, gostaria de gerar um "potencial de estanho de muffin" simples (veja abaixo) a partir de alguma aproximação analítica simples que aproximadamente corresponde ao que pode ser calculado como o potencial eletrostático que um elétron incidente sentiria ao passar por um átomo de tamanho médio (hidrogênio << átomo << urânio) organizado em um cristal.

Posso começar a aprender como calcular deslocamentos de fase e distribuições angulares com isso.

A aproximação Muffin-tin da Wikipedia fala sobre isso, mas não oferece nenhuma equação fora de mão.

A aproximação de ordem zero seria uma carga pontual positiva nuclear e uma esfera uniforme de carga negativa e posso certamente começar com isso; com argumento de uniformidade vago baseado no princípio de exclusão. Um "potencial interno" plano de 5 a 15 eV é freqüentemente assumido entre os átomos neste contexto. Em pequenas distâncias ele teria que ser achatado, pois próximo ao núcleo ele vai ao infinito.

Pergunta: Mas existe uma aproximação um pouco melhor do que a disponível?

Corte transversal através de uma "lata de um muffin" feita de um uniforme $r = 1$esfera de elétrons e um núcleo pontual, arbitrariamente achatado na parte inferior. Eles seriam dispostos no espaço na localização de cada átomo e um potencial constante preencheria o espaço entre eles.

Objetivo de longo prazo apenas para o plano de fundo:

Visão geral de como simulações de difração de elétrons dinâmicas autoconsistentes de baixa energia são realizadas
Os métodos de diferença finita no domínio do tempo fizeram incursões na simulação dinâmica de espalhamento de elétrons e / ou raios-X por cristais?
Padrões simulados de difração de elétrons de baixa energia (LEED)

Respostas

7 wyphan Dec 04 2020 at 02:43

O método de onda plana aumentada (APW) e, por extensão, o método de onda plana linear aumentada são generalizações da aproximação de estanho de muffin.

Em ambos os métodos APW e LAPW, o potencial $V(r)$ é definido como uma função por partes [1] com um único parâmetro: o raio do muffin-tin $r_\mathrm{MT}$. $$ V(r) = % \begin{cases} \sum_{lm} V_{lm} (r) Y_{lm} (\hat{r}) & r < r_\mathrm{MT} & (\mathrm{core}) \\ V_K e^{i K r} & r > r_\mathrm{MT} & (\mathrm{interstitial}) \end{cases}$$

Os valores do potencial $V(r)$, a função de onda $\phi(r)$, e a densidade eletrônica $\rho(r)$ são combinados em $r = r_\mathrm{MT}$ para garantir que a derivada existe para cada um deles.

A ilustração a seguir é de Singh & Nordstrom (2006) [2],

Ao resolver a equação de Schrödinger não relativística, o mesmo livro observa o seguinte no cap. 5, pág. 63

Essas equações diferenciais [a equação de Schrödinger radial] podem ser resolvidas na malha radial usando métodos padrão, por exemplo, métodos preditores-corretores.

Ao combinar as duas partes por partes (cap. 4, p. 44):

Observando isso da equação de Schrödinger, $$ (E_2 - E_1) ~ r ~ u_1 (r) ~ u_2 (r) = u_2 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_1(r) }{\mathrm{d}r^2} - u_1 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_2(r) }{\mathrm{d}r^2} $$ Onde $u_1 (r)$ e $u_2 (r)$ são soluções radiais em energias diferentes $E_1$ e $E_2$. A sobreposição é construída usando essa relação e integrando por partes; os termos superficiais desaparecem se qualquer um$u_1 (r)$ ou $u_2 (r)$ desaparecem no limite da esfera, enquanto os outros termos se cancelam.

De qualquer forma, pessoalmente não acho que resolver a equação de Schrödinger radial seja muito caro do ponto de vista computacional, dado o estado atual dos computadores. Mas se você quiser evitá-lo a todo custo, existe o modelo Kronig-Penney , que é muito mais simples em detrimento da precisão.