Faz $M = \oplus_i M_i = \sum_j M'_j$ com $M_i, M'_j$ simples implica $M_i \simeq M'_j$ para alguns i, j

Question

Deixei $M$ seja um $R$-módulo. Assumimos que existem duas famílias$(M_i)_i$ e $(M'_j)_j$ de submódulos simples de $M$ de tal modo que $$ M = \bigoplus_i M_i = \sum_j M'_j. $$ Existe algum $i,j$ de tal modo que $M_i \simeq M'_j$?

Answer 1

Por conveniência de notação, vou deixar $I$ e $J$ ser conjuntos de índices para o $M_i$ e $M_j'$.

A resposta para sua pergunta é sim, e de fato para qualquer $j\in J$ nós podemos encontrar $i\in I$ com $M_i\cong M_j'$. Para ver isso, vamos$f:M_j'\hookrightarrow M$ seja o mapa de inclusão e defina $f_i=\pi_i\circ f$ para cada $i\in I$, Onde $\pi_i:M\to M_i$é o mapa de projeção. Não podemos ter todos$f_i$ identicamente zero, ou então $f$ seria identicamente zero, contradizendo que $M_j'$é simples. Portanto, há alguns$i$ com $f_i$diferente de zero. Mas qualquer mapa diferente de zero entre módulos simples é um isomorfismo, então$f_i$ é na verdade um isomorfismo $M_j'\cong M_i$, como desejado.

Na verdade, uma afirmação semelhante vale para $I$ em vez de $J$: para cada $i\in I$, podemos encontrar $j$ com $M_i\cong M_j'$. Isso segue (a prova do) lema 1 aqui ; na verdade, desde$M=\sum_{j\in J}M'_j$, e cada $M'_j$ é simples, tem algum $J'\subseteq J$ com $M=\bigoplus _{j\in J'}M_j'$. Agora estamos em posição de aplicar exatamente o mesmo argumento acima, considerando as composições das projeções$\pi_j:M\to M'_j$ (para todos $j\in J'$) com a inclusão $M_i\hookrightarrow M$.