Função de valor real limitada em$[0,1]$, não integrável?

Question

Essa função existe? Se sim, deve ser um caso muito patológico. Estou falando aqui sobre a integrabilidade de Lebesgue.

Por exemplo, se$f(x)=1$E se$x$é racional e zero caso contrário, então$\int_0^1 f(x)dx = 0$. Então você precisa encontrar um exemplo mais patológico do que isso. Um possível exemplo é o seguinte.

Deixar$f(x)$ser a realização de uma variável aleatória gaussiana$Z_x$com média igual a$0$e variância igual a$1$. Suponhamos que o$Z_x$'s são distribuídos de forma idêntica e independente. tal função$f(x)$não é contínuo em nenhum lugar e pode ser visto como a realização de um ruído branco. No entanto, você poderia argumentar que sua integral em$[0,t]$é o valor$B(t)$de uma realização de um movimento browniano começando com$B(0)=0$, e medido no tempo$t$. Desta forma$\int_0^1 f(x) dx = B(1)$. Observe que os movimentos brownianos não são diferenciáveis ​​em nenhum lugar, então talvez haja uma contradição no que estou dizendo aqui.

De qualquer forma, nunca encontrei contra-exemplos: uma função limitada por$[0, 1]$mas não integrável nesse intervalo. você pode mostrar um exemplo?

Answer 1

Deixar$f$seja uma função limitada em$[0,1]$.

Qualquer$f$é mensurável, e então$$ \int_0^1 |f| ≤ \sup |f|\ \int_0^1 1\,\mathrm d x = \sup |f| < \infty $$assim$f$é integrável.

Qualquer$f$não é mensurável. Isso existe se você assumir o axioma da escolha. Você pode então pegar qualquer conjunto não mensurável$\Omega$e pegue$f = \chi_\Omega$a função característica deste conjunto, conforme sugerido por Nate Eldredge. Então, por definição, esta função não é integrável.