$G_2$ como o grupo de isometrias de um espaço projetivo

Question

Parece que na classificação de álgebras de mentira complexas simples, toda álgebra de mentira corresponde ao grupo de isometrias de um espaço projetivo. SO (n + 1) é o grupo de isometrias em$RP^n$, SU (n + 1) são as isometrias de $CP^n$, e SP (n + 1) são as isometrias de $HP^n$.

John Baez explica em seu curso sobre as octonões que os grupos de mentira excepcionais são os grupos de isometrias para espaços projetivos construídos a partir das octonões, como visto no Quadrado Mágico das Álgebras de Lie 1

$G_2$é o único grupo de mentiras excepcional deixado de fora desta descrição, e é geralmente descrito como o grupo de automorfismos dos octonianos, o que é bom, mas seguindo o padrão, parece que deveria ser o grupo de isometrias de alguma variedade também. É sabido o que seria este múltiplo?

Answer 1

Muito longo para um comentário, mas não uma resposta completa:

Existe uma descoberta famosa como $G_2$ como o grupo de simetria de 'uma bola rolando sobre outra bola com 3 vezes seu raio'.

Não sei bem o que isso significa, mas sempre que você inventa uma parametrização sensata de todas as configurações possíveis das duas bolas, não é difícil se convencer de que a coisa dele tem a estrutura de um múltiplo. Talvez este múltiplo seja o que tem$G_2$simetria. Por outro lado, são apenas duas bolas se tocando. Se de alguma forma a noção de rolar desempenha um papel mais sério, é menos óbvio se e como a história pode ser reformulada como um múltiplo.

Mas um bom ponto de partida seria pesquisar no Google '$G_2$ rolling ball 'ou similar e veja o que acontece.

EDITAR: esta citação da Wikipedia (a página em $G_2$) o clafifica bastante:

Em 1893, Élie Cartan publicou uma nota descrevendo um conjunto aberto em $\mathbb{C}^5$ equipado com uma distribuição bidimensional, isto é, um campo de variação suave de subespaços bidimensionais do espaço tangente, para o qual a álgebra de Lie $\mathfrak{g}_{2}$aparece como simetrias infinitesimais. [2] No mesmo ano, no mesmo jornal, Engel notou a mesma coisa. Mais tarde, foi descoberto que a distribuição bidimensional está intimamente relacionada a uma bola rolando em outra bola. O espaço de configurações da bola rolante é 5-dimensional, com uma distribuição bidimensional que descreve os movimentos da bola onde ela rola sem escorregar ou torcer.