Generalizando o Pfaffian: famílias de matrizes cujos determinantes são potências perfeitas de polinômios nas entradas

Question

Deixar $n$ seja um número inteiro positivo, e deixe $M = (m_{ij})$ ser um enviesado $2n \times 2n$matriz. Ou seja, nós temos$m_{ij} = -m_{ji}$ para $1 \leq i, j \leq 2n$. Então é sabido que

$$\det M = p(M)^2,$$

Onde $p$ é um polinômio nas entradas $m_{ij}$. O polinômio$p(M)$é chamado de Pfaffian de$M$.

Existe uma generalização disso? Ou seja, existe uma família natural de$kn \times kn$ matrizes cujos determinantes são perfeitos $k$-ésimas potências de polinômios nas entradas?

Answer 1

Uma boa classe de exemplos disso é dada pelas álgebras de Clifford: Se $V$ é um espaço vetorial real dotado de uma forma quadrática $q:V\to\mathbb{R}$, a álgebra $Cl(q)$ é a álgebra gerada pelos elementos de $V$ sujeito à regra de multiplicação $x^2 = -q(x)$. Se$M$ é um $Cl(q)$-módulo, diga $M\simeq\mathbb{R}^m$, então temos uma inclusão $V\hookrightarrow\mathrm{End}(M)$ e o polinômio característico de $x\in V\subseteq\mathrm{End}(M)$ é facilmente visto como $(t^2+q(x))^{m/2}$, então nós temos $$ \det(x) = q(x)^{m/2} $$ para todos $x\in V$.

Por exemplo, se $V$ é $\mathbb{R}^8$ com sua forma quadrática euclidiana padrão $q$, então $Cl(q)$ é isomórfico a $\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^{16})$, para que possamos levar $M=\mathbb{R}^{16}$ (e todo $Cl(q)$-módulo é $\mathbb{R}^{16k}$ para algum inteiro $k$) Assim, neste caso, temos$\det(x) = p(x)^8$ Onde $p(x) = |x|^2$ para todos $x\in V$.

Em geral, quando $V\simeq\mathbb{R}^n$ e $q_n:V\to\mathbb{R}$ é não degenerado, a dimensão de um mínimo não trivial $Cl(q_n)$-módulo cresce (aproximadamente) exponencialmente com $n$, então o mínimo $m$ cresce exponencialmente com $n$. Isso mostra que existem exemplos não triviais "irredutíveis" com$\det(x) = p(x)^k$ para $k$ arbitrariamente grande e que não há limite na dimensão possível $n$ do subespaço $V\subset\mathrm{End}(M)$.

Observação : Dado um subespaço linear$V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^{m})$ de modo que existe um polinômio $p:V\to\mathbb{R}$ e um inteiro $k = m/\deg(p)>1$ de tal modo que $\det(x) = p(x)^k$, dizemos que o par $(V,\mathbb{R}^m)$é irredutível se não houver subespaço não trivial$M\subset\mathbb{R}^m$ de tal modo que $x(M)\subset M$ para todos $x\in V$ e $\det(x_{|M}) = p(x)^j$ para todos $x\in V$, onde, necessariamente, $j = (\dim M)/\deg(p)$.

O problema interessante para subespaços lineares $V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^m)$ no qual o $\det$-função é uma maior potência de um polinômio em $V$ é classificar os irredutíveis de dimensão máxima para um dado $m$.