Há vindo de $1$ para $\sqrt[4]{2}$ usando $\sqrt{\alpha^2+ 1}$

Question

O objetivo é obter de $1$ para $\sqrt[4]{2}$ ou provar que é impossível usando apenas uma das seguintes opções:

1. Adicione ou subtraia dois números construídos anteriormente.
2. Multiplique dois números construídos anteriormente.
3. Usando um número previamente construído $\alpha$ construir ambas as soluções para $\alpha^2+1=\beta^2$. Consegui construir muitos números próximos a ele, como$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$.
   Tenho certeza de que é impossível, mas não consegui provar.
   Algum de vocês pode ajudar?
   Editar 1: recíprocos
   Podemos construir todos os radicais quadráticos e números racionais.
   Neste caso, estamos buscando uma extensão de$\mathbb Q$ que é fechado em (3), Os números construtíveis são fechados sob esta operação, mas eu acho que há um subcampo dos números construtíveis fechados abaixo dela e contendo $\mathbb Q$ como um subcampo.

Answer 1

Tudo bem, você deve verificar seu cálculo novamente. Se você realmente construiu$2^{1/4}$ você seria imediatamente capaz de construir $\sqrt{1 + \sqrt 2}.$ Isso não é possível: a maneira mais rápida de dizer é que o campo de Hilbert é o conjunto de elementos totalmente reais no campo construtível (fechado sob raízes quadradas de elementos positivos).

Encontram-se nas páginas 145-148 de Geometry: Euclid and Beyond, de Robin Hartshorne.

Repeti a primeira pesquisa de exemplo em https://doc.sagemath.org/html/en/reference/number_fields/sage/rings/number_field/totallyreal_rel.html

e pegou

jagy@phobeusjunior:~$ sage
┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ SageMath Version 6.9, Release Date: 2015-10-10                     │
│ Type "notebook()" for the browser-based notebook interface.        │
│ Type "help()" for help.                                            │
└────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
sage:  ZZx = ZZ['x']
sage:  F.<t> = NumberField(x^2-2)
sage: enumerate_totallyreal_fields_rel(F, 2, 10000)
[[1600, x^4 - 6*x^2 + 4, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 3],
 [2048, x^4 - 4*x^2 + 2, xF^2 + t - 2],
 [2304, x^4 - 4*x^2 + 1, xF^2 + t*xF - 1],
 [2624, x^4 - 2*x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 1],
 [4352, x^4 - 6*x^2 - 4*x + 2, xF^2 + t*xF + t - 2],
 [7168, x^4 - 6*x^2 + 7, xF^2 + t - 3],
 [7232, x^4 - 2*x^3 - 5*x^2 + 4*x + 4, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 2],
 [8768, x^4 - 2*x^3 - 5*x^2 + 6*x + 7, xF^2 + xF + t - 3],
 [9792, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 2*x + 7, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 3]]



sage: enumerate_totallyreal_fields_rel(F, 2, 100000)
[[1600, x^4 - 6*x^2 + 4, xF^2 + xF - 1],
 [2048, x^4 - 4*x^2 + 2, xF^2 + t - 10],
 [2304, x^4 - 4*x^2 + 1, xF^2 + t*xF - 1],
 [2624, x^4 - 2*x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 1],
 [4352, x^4 - 6*x^2 - 4*x + 2, xF^2 + t*xF + t - 14],
 [7168, x^4 - 6*x^2 + 7, xF^2 + t - 3],
 [7232, x^4 - 2*x^3 - 5*x^2 + 4*x + 4, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 2],
 [8768, x^4 - 2*x^3 - 5*x^2 + 6*x + 7, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 5],
 [9792, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 2*x + 7, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 3],
 [10304, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 8*x + 8, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 4],
 [10816, x^4 - 2*x^3 - 9*x^2 + 10*x - 1, xF^2 + (t + 1)*xF + 7*t - 9],
 [12544, x^4 - 8*x^2 + 9, xF^2 + t*xF - 3],
 [13888, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 6*x + 9, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 3],
 [14336, x^4 - 8*x^2 + 14, xF^2 + t - 4],
 [16448, x^4 - 2*x^3 - 7*x^2 + 8*x + 14, xF^2 + (t + 1)*xF + 6*t - 8],
 [18432, x^4 - 12*x^2 + 18, xF^2 + 3*t - 6],
 [18496, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 12*x + 2, xF^2 + xF - 4],
 [18688, x^4 - 10*x^2 - 4*x + 14, xF^2 + t*xF + t - 4],
 [20032, x^4 - 2*x^3 - 9*x^2 + 10*x + 17, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 7],
 [21056, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 2*x + 17, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 5],
 [21568, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 12*x + 18, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 6],
 [22592, x^4 - 2*x^3 - 9*x^2 + 8*x + 16, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 4],
 [22784, x^4 - 12*x^2 - 8*x + 17, xF^2 + t*xF + 2*t - 5],
 [23552, x^4 - 10*x^2 + 23, xF^2 + t - 5],
 [24832, x^4 - 14*x^2 - 12*x + 18, xF^2 + t*xF + 3*t - 6],
 [26176, x^4 - 2*x^3 - 9*x^2 + 10*x + 23, xF^2 + (t + 1)*xF + 8*t - 11],
 [28224, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 14*x + 7, xF^2 + xF - 5],
 [29248, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 6*x + 23, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 5],
 [30976, x^4 - 12*x^2 + 25, xF^2 + t*xF - 5],
 [31744, x^4 - 14*x^2 + 31, xF^2 + 3*t - 7],
 [31808, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 12*x + 28, xF^2 + (t + 1)*xF + 7*t - 10],
 [33344, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 10*x + 25, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 5],
 [34816, x^4 - 12*x^2 + 34, xF^2 + t - 6],
 [35392, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 14*x + 31, xF^2 + (t + 1)*xF + 6*t - 9],
 [36416, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 2*x + 31, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 7],
 [36928, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 16*x + 32, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 8],
 [37952, x^4 - 2*x^3 - 11*x^2 + 12*x + 34, xF^2 + xF + t - 6],
 [41216, x^4 - 14*x^2 - 4*x + 34, xF^2 + t*xF + t - 6],
 [42048, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 8*x + 34, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 6],
 [45632, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 14*x + 41, xF^2 + xF + 2*t - 7],
 [46144, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 12*x + 36, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 6],
 [47104, x^4 - 16*x^2 + 46, xF^2 + 3*t - 8],
 [48128, x^4 - 14*x^2 + 47, xF^2 + t - 7],
 [48704, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 6*x + 41, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 7],
 [49408, x^4 - 16*x^2 - 8*x + 41, xF^2 + t*xF + 2*t - 7],
 [51200, x^4 - 20*x^2 + 50, xF^2 + 5*t - 10],
 [51264, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 16*x + 46, xF^2 + (t + 1)*xF + 8*t - 12],
 [51776, x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 + 14*x + 47, xF^2 + xF + t - 7],
 [53312, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 4*x + 46, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 8],
 [53824, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 23, xF^2 + xF - 7],
 [54848, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 49, xF^2 + (t + 1)*xF + 7*t - 11],
 [55552, x^4 - 18*x^2 - 12*x + 46, xF^2 + t*xF + 3*t - 8],
 [55872, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 2*x + 49, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 9],
 [56384, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 50, xF^2 + (t + 1)*xF + 6*t - 10],
 [56896, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 10*x + 47, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 7],
 [57600, x^4 - 16*x^2 + 49, xF^2 + t*xF - 7],
 [59648, x^4 - 20*x^2 - 16*x + 49, xF^2 + t*xF + 4*t - 9],
 [60992, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 14*x + 49, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 7],
 [61696, x^4 - 22*x^2 - 20*x + 50, xF^2 + t*xF + 5*t - 10],
 [63488, x^4 - 16*x^2 + 62, xF^2 + t - 8],
 [64512, x^4 - 18*x^2 + 63, xF^2 + 3*t - 9],
 [65600, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 8*x + 56, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 8],
 [67648, x^4 - 2*x^3 - 15*x^2 + 16*x + 62, xF^2 + xF + t - 8],
 [69184, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 63, xF^2 + xF + 3*t - 9],
 [69696, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 34, xF^2 + xF - 8],
 [71936, x^4 - 18*x^2 - 4*x + 62, xF^2 + t*xF + t - 8],
 [72256, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 6*x + 63, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 9],
 [72704, x^4 - 22*x^2 + 71, xF^2 + 5*t - 11],
 [73792, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 12*x + 62, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 8],
 [74816, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 68, xF^2 + xF + 4*t - 10],
 [76864, x^4 - 2*x^3 - 21*x^2 + 4*x + 68, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 10],
 [77888, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 16*x + 64, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 8],
 [79424, x^4 - 2*x^3 - 23*x^2 + 2*x + 71, xF^2 + (t + 1)*xF + 6*t - 11],
 [79424, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 73, xF^2 + xF + 2*t - 9],
 [79936, x^4 - 2*x^3 - 23*x^2 + 24*x + 72, xF^2 + (t + 1)*xF + 7*t - 12],
 [80896, x^4 - 18*x^2 + 79, xF^2 + t - 9],
 [83968, x^4 - 20*x^2 + 82, xF^2 + 3*t - 10],
 [84224, x^4 - 20*x^2 - 8*x + 73, xF^2 + t*xF + 2*t - 9],
 [84544, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 10*x + 73, xF^2 + (t + 1)*xF + 3*t - 9],
 [85568, x^4 - 2*x^3 - 17*x^2 + 18*x + 79, xF^2 + xF + t - 9],
 [87616, x^4 - 2*x^3 - 21*x^2 + 22*x + 47, xF^2 + xF - 9],
 [89152, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 82, xF^2 + xF + 3*t - 10],
 [92416, x^4 - 20*x^2 + 81, xF^2 + t*xF - 9],
 [92736, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 14*x + 79, xF^2 + (t + 1)*xF + 2*t - 9],
 [93248, x^4 - 2*x^3 - 21*x^2 + 8*x + 82, xF^2 + (t + 1)*xF + 4*t - 10],
 [94464, x^4 - 22*x^2 - 12*x + 82, xF^2 + t*xF + 3*t - 10],
 [96256, x^4 - 24*x^2 + 94, xF^2 + 5*t - 12],
 [96832, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 18*x + 81, xF^2 + (t + 1)*xF + t - 9],
 [96832, x^4 - 2*x^3 - 21*x^2 + 22*x + 89, xF^2 + xF + 4*t - 11],
 [99392, x^4 - 2*x^3 - 19*x^2 + 20*x + 92, xF^2 + xF + 2*t - 10],
 [99904, x^4 - 2*x^3 - 23*x^2 + 6*x + 89, xF^2 + (t + 1)*xF + 5*t - 11]]
sage: