Ideal da fronteira de$G/U \subset \overline{G/U}$

Aug 16 2020

Deixar$G$ser um grupo algébrico semi-simples,$B \subset G$é um subgrupo Borel e$U \subset B$é o radical unipotente de$B$. Podemos considerar a variedade$G/U$. Vamos também denotar$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. Sabe-se que o morfismo natural$G/U \rightarrow \overline{G/U}$é uma incorporação aberta. Deixar$\partial{G/U}$ser o limite de$G/U$lado de dentro$\overline{G/U}$. Observe agora que$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, onde a soma passa por caracteres dominantes$\mu$do$G$(fixamos algum toro máximo$T \subset B$, aqui$V(\mu)$é a representação irredutível de$G$com maior peso$\mu$).

Reivindicação: o ideal de$\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$é gerado por$V(\mu)$com$\mu$sendo regular (estritamente dominante). Como provar esta afirmação? Talvez haja alguma referência?

Respostas

7 dhy Aug 16 2020 at 02:39

Aqui está uma maneira de ver isso, por meio da classificação$G$- ideais radicais invariantes. (Isso tem a vantagem de descrever implicitamente o limite.)

Lema: $G$- ideais invariantes$I$do$\mathbb{C}[G/U]$estão em bijeção com conjuntos de pesos$S$para que para$\lambda\in S$e$\mu > \lambda$,$\mu\in S$. Tal ideal é radical se para todos$\lambda\notin S,$temos$n\lambda\notin S$para todos os inteiros positivos$n$.

Para ver isso, observe que$G$-invariância diz a você que$I$deve dividir como uma soma$$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$para algum conjunto$S$. Agora se$\lambda\in S,$o mapa de multiplicação$V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$é sobrejetiva e portanto$\mu > \lambda$também deve estar em$S$.

A declaração sobre ideais radicais segue de forma semelhante.

A partir desta declaração, você pode ver que o mínimo diferente de zero$G$-ideal radical invariante (que necessariamente corta o limite) corresponde a tomar$S$o conjunto de todos os pesos regulares.