Integração de Torque para um Loop de Corrente Circular em Campo Magnético [fechado]

Question

Estou tentando derivar a fórmula para o torque em um loop de corrente circular dentro de um campo magnético. Eu sei que a fórmula é:

$\tau = IAB\sin{\theta}$

Onde I é a corrente, B é o campo magnético e A é a área.

Minha tentativa até agora:

$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$

Agora, se a fórmula para o torque for: $\tau=bF\sin{\theta}$e $b = r\sin{\alpha}$, então

$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$

Em última análise, se eu pegar a integral desta última equação, não consigo entender exatamente como integrar $\sin{\alpha}^2\,ds$.

Eu acho que meu mal-entendido subjacente está aqui: eu posso dizer qual é a integral de $d\vec{s}\times \vec{B}$será, já que sei o diâmetro do círculo. No entanto, acho que não há como expressar$\sin{\alpha}$ em relação a $ds$.

Eu estou entendendo errado? Obrigado

Answer 1

Você não usou notações vetoriais, então parece ser terrível. Além disso, você usou$M$ para torque (deve ser $\tau$) em vez de momento magnético (que são símbolos geralmente aceitos).

Prova:

Um loop circular encontra-se em $x-y$ avião com raduis $r$ e centro na origem $O$. Ele está carregando uma corrente constante no sentido anti-horário. Existe um campo magnético uniforme$\vec B$ dirigido ao longo do positivo $x$-eixo.

Considere um elemento $d\vec s$ no anel em um ângulo $\theta$ subtendendo um ângulo $d\theta$na origem. O torque neste elemento é dado por

$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$

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Nota: Eu pulei a parte do cálculo. Além disso, você também pode levar$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, Eu tomei apenas $x$-componente para simplicidade. O resultado será o mesmo. O mesmo acontece com a forma do condutor, não importa se é quadrado ou círculo.

Answer 2

Resolvi isso percebendo que ds é realmente $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ pela fórmula do acorde de comprimento.

Em suma, realmente escrevendo $d\vec{s}\times \vec{B}$ em termos de $\alpha$.