Integrando uma função racional 'torcida'

Aug 18 2020

Para $x\in [0,1]$, deixei $$ P_n (x) = \prod_{k=1}^{n} (x^k+1)^{(-1)^k}. $$Por exemplo, $\displaystyle{P_4(x) = \frac{(x^2+1)(x^4+1)}{(x+1)(x^3+1)}}$. De importância:$P_n(1)=1/2$ E se $n$ é estranho e $1$ E se $n$ é uniforme, então não podemos esperar convergência uniforme em $[0,1)$. Estou interessado no limite$\lim_{n\to\infty}P_n(x)$, se existir, e vários integrais relacionados, a saber:

  • Se $P(x):=\lim_{n\to\infty}P_n(x)$ existe e se sim o que é
  • $I_n:=\int_0^1 P_n(x)\,dx$ (este parece ser o intervalo natural de integração, uma vez que queremos evitar números negativos e a versão de índice par explode para $x>1$)
  • $I:=\int_0^1 P(x)\,dx$

Eu calculei os primeiros valores de $I_n$ à mão: $$ \left\{\log (2),\log (4)-\frac{1}{2},\frac{1}{27} \left(9+2 \sqrt{3} \pi \right),\frac{5}{2}+\frac{\pi }{9 \sqrt{3}}-\frac{8 \log (2)}{3}\right\} $$Então eu calculei $20$valores usando um CAS; a sequência parece estar alternando com os valores ímpares aumentando e os valores pares diminuindo (como esperado). Eu tenho$I_{1000}\approx 0.79496$ e $I_{1001}\approx 0.794376$, então eu acho que o limite $I$ está em algum lugar entre eles.

Já vi uma infinidade de produtos antes, principalmente no contexto de algum material introdutório que li sobre séries hipergeométricas, então sinta-se à vontade para usá-los em sua resposta!

Respostas

7 RobertIsrael Aug 18 2020 at 14:27

O produto infinito $$P(x) = \prod_{k=1}^\infty (x^k+1)^{(-1)^k}$$ converge para um valor diferente de zero se $|x| < 1$ Porque $$\sum_{k=1}^\infty \log \left((x^k+1)^{(-1)^k}\right) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \log(x^k+1)$$converge. Seus coeficientes da série Maclaurin são a sequência OEIS A083365 . De acordo com aquilo,$P(x) = \psi(x) / \phi(x)$ Onde $\psi(x)$ e $\phi(x)$ são funções theta de Ramanujan.