Interpretação de um certo teorema geral usado por Gauss em seu trabalho sobre funções teta.
Estou tentando entender o significado de uma proposição geral afirmada por Gauss em um artigo póstomo (este artigo está nas páginas 470-481 do volume 3 do werke de Gauss) sobre as funções teta, uma proposição que parece servir como um guia e princípio organizador da vasta quantidade de relações entre as funções theta que ele encontrou.
Notação e definições de Gauss
Denotado por $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ as seguintes funções:
$$P(x,y)=1+x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})+x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$Q(x,y)= 1-x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})-x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$R(x,y)=x^{\frac{1}{4}}(y^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{2}})+x^{\frac{9}{4}}(y^{\frac{3}{2}}+y^{-\frac{3}{2}})+x^{\frac{25}{4}}(y^{\frac{5}{2}}+y^{-\frac{5}{2}})+...$$
Essas funções incluem funções teta de Jacobi em seu significado usual como casos especiais; E se$y$ é um número complexo cujo valor absoluto é $1$e $z$ é definido como um número real tal que $y = e^{2iz}$, então nós temos:
$$P(x,y)=1+2cos(2z)x+2cos(4z)x^4+2cos(6z)x^9+...=\vartheta_3(z,x)$$
que segue da identidade $cos(2nz)= \frac{e^{2inz}+e^{-2inz}}{2}$. Em particular, temos:
$$P(x,1)=1+2x+2x^4+2x^9+...=\vartheta_3(0,x)$$, Para que se possa entender $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ como uma generalização da função teta de Jacobi $\vartheta(z,x)$ de puramente real $z$ para um complexo $z$ (parte imaginária diferente de zero de z), de modo que $|y| \ne 1$.
Observação: Não estou muito familiarizado com as publicações de Jacobi, então é bem possível que a definição original de Jacobi de suas funções teta inclua também o caso em que$z$ é complexo, então as funções de Gauss $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ nada mais são do que simplesmente funções theta de Jacobi com notação diferente.
Teorema de Gauss
Em 6 de agosto de 1827, Gauss declarou o seguinte "teorema geral":
$$P(x,ty)\cdot P(x,\frac{y}{t}) = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2) $$
e então passa a derivar uma infinidade de relações a partir dele.
Para um histórico mais abrangente sobre esta questão, por favor, olhe a resposta ao post HSM stackexchange https://hsm.stackexchange.com/questions/6256/did-gauss-know-jacobis-four-squares-theorem.
Portanto, gostaria de saber como interpretar o teorema geral enunciado por Gauss.
Respostas
A definição das funções teta de Gauss pode ser escrita como
$$ P(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}y^n,\;\; R(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac12} x^{n^2}y^n. \tag{1} $$
Agora considere o produto de duas funções theta
$$ S := P(x,ty)\cdot P(x,y/t) = \left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}(ty)^n\right) \! \left(\sum_{m\in\mathbb{Z}} x^{m^2}(y/t)^m\right). \tag{2} $$
Isso pode ser reescrito como uma soma dupla
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{n^2+m^2} y^{n+m}t^{n-m}. \tag{3} $$
Reescreva usando novas variáveis
$$ j = \frac{n+m}2,\;\; k = \frac{n-m}2 \;\; \text{ where } \;\; n = j+k,\;\; m = j-k \tag{4} $$
para obter
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{2(j^2+k^2)} y^{2j}t^{2k}. \tag{5} $$
A soma dupla $\,S\,$divide-se em dois casos. Um é$\,S_0\,$ Onde $\,n,m\,$ tem a mesma paridade com $\,j,k\in\mathbb{Z}.\,$ O outro é $\,S_1\,$ Onde $\,n,m\,$ tem paridade diferente com $\,j,k\in\mathbb{Z}+\frac12.\,$ Reescreva as somas como produtos
$$ S_0 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) \tag{6} $$
e
$$ S_1 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}+\frac12} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{7} $$
O resultado final é
$$ S = S_0+S_1 = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{8} $$
Acho que é semelhante à prova original de Gauss, mas não tenho como saber disso. Essa abordagem deve ser muito antiga.
Vamos usar as variáveis $q, z$ com $q=x, y=e^{2iz}$ de modo a $$P(x, y) =\vartheta_3(z,q),Q(x,y)=\vartheta_4(z,q),R(x,y)=\vartheta_2(z,q)$$ e agora podemos transcrever o teorema geral de Gauss como $$\vartheta_3(z+w,q)\vartheta_3(z-w,q)=\vartheta_3(2z,q^2)\vartheta_3(2w,q^2)+\vartheta_2(2z,q^2)\vartheta_2(2w,q^2)$$ (com $t=e^{2iw}$) como uma identidade entre as funções teta de Jacobi.
Esta é uma das identidades mais fundamentais entre funções theta e quase todas as relações algébricas entre funções theta podem ser derivadas usando isso. Você pode dar uma olhada neste artigo no arXiv para algumas identidades derivadas deste teorema geral de Gauss
A prova do mesmo pode ser dada considerando a razão dos lados esquerdo e direito e mostrando que é uma função duplamente periódica sem pólos. E assim é uma constante. Requer algum esforço para mostrar que a constante é$1$ mas pode ser mostrado com alguma manipulação algébrica na série correspondente a essas funções com $z=0,w=0$.
No momento, não tenho uma prova algébrica direta da identidade acima e precisarei verificar a Jacobi Fundamenta Nova para ver se Jacobi forneceu tal prova. Além disso, como você observou em sua pergunta, as funções Jacobi Theta são definidas para todos os$z, q$ com $|q|<1$.