Lema para provar a existência de infinitos primos
Este problema é da Introdução de Gerstein às Estruturas e Provas Matemáticas . A parte b do problema é fornecer um tipo específico de prova de que existem infinitamente muitos primos. Estou preocupado com a parte a, o lema obrigatório. A parte a é declarada:
Mostre que se $n \ge 3$ então há um número primo p que satisfaz $n \lt p \le n!-1$.
Há uma dica:
"Considere um divisor primo p de $(n-1)!-1$. Por que p existe? "
Aqui está minha tentativa de solução:
p existe porque todo inteiro tem um divisor primo. Para o k-ésimo primo$p_k$, definir
$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ Onde $p_i$ é o i-ésimo primo.
O símbolo p denota um divisor primo de $(n-1)!-1$. Minha conjectura é que$p!!+1$é principal. Precisamos apenas mostrar que está no intervalo exigido.
É razoável (embora eu não tenha provado) supor que $p!!+1 > n$.
$p!!$é o produto de menos de n inteiros, cada um dos quais é menor ou igual a p, que ou igual a n. então$p!!+1\le n!-1$ e a prova pretendida, tal como é, seria completa.
Existe algum mérito neste argumento? Se não, como a proposição pode ser demonstrada?
Respostas
$13!!+1=30031=59\cdot509$ não é primo, então o argumento não pode funcionar.
No entanto, é certamente verdade que $n!-1$ tem um divisor primo $p$, e claramente $p\le n!-1$, então precisamos apenas mostrar que $p>n$. Desde a$p\mid n!-1$, claramente $p\not\mid n!$; mas todo inteiro positivo$\le n$ divide $n!$, então $p$ não pode ser $\le n$. Assim, devemos ter$n<p\le n!-1$.