Mapa de interseção dando origem à dualidade de Poincaré

Dec 12 2020

Deixar $M$ ser um compacto suavemente triangulado $d$-dimensional múltiplo. Considere o subcomplex$C_*^{\pitchfork T}(M)$de cadeias singulares suaves que são transversais à triangulação. Uma construção de homotopia de cadeia indutiva estabelece que estas são quase isomórficas a todas as cadeias suaves e, portanto, todas singulares.

Defina o mapa de interseção $I : C_n^{\pitchfork T}(M; R) \to C^{d-n}_\Delta(M; R)$ (o último sendo cochains simpliciais decorrentes da triangulação), enviando $\sigma : \Delta^d \to M$ para a cochain cujo valor em um elemento da triangulação cujo mapa característico é $\iota : \Delta^{d-n} \to M$ é a contagem da variedade zero dada pela retirada de $\sigma$ e $\iota$. Aqui também$R$ é $\mathbb{Z}/2$ ou $M$deve ser orientado e a contagem está com os sinais usuais, e usa-se alguma versão (como esta ) de transversalidade para variedades com cantos.

Exercício divertido: com sinais apropriados, $I$é um mapa de complexos de cadeia. (Dica: como na prova de que o grau conforme definido pela contagem de pré-imagens é invariante de homotopia, isso depende da classificação de uma variedade.) A dualidade de Poincaré implica que o domínio e o alcance de$I$ são quase isomórficos.

Pergunta: por que é $I$ um quase isomorfismo?

Acho que posso provar isso, mas apenas no cenário mod-dois, usando o trabalho seminal de Thom sobre o bordismo e a abordagem elementar de Quillen ao cobordismo (apenas as definições de seu artigo "elementar" - não os resultados principais, que para mim são bastante profundo, apesar do título do artigo). Mas deve haver um argumento mais direto, que cubra o caso orientado também, e parece que isso deveria estar na literatura em algum lugar - talvez dos anos 1940?

(Motivação: Greg Friedman, Anibal Medina e eu temos o que pensamos ser uma nova abordagem para questões como As cadeias e co-cadeias sabem a mesma coisa sobre a variedade? Por meio de fluxos de campo vetorial, e gostaríamos de desenvolver o conhecimento existente da interação entre a intersecção e a dualidade.)

Respostas

2 DevSinha Dec 17 2020 at 01:14

Em um tópico de comentário relacionado e altamente relevante, Mike Miller me indicou esta pré - impressão de Lipyanskiy. Tenho certeza de que há argumentos que funcionam, como o que Joshua, Dmitri e eu discutimos nos comentários. Mas antes que me esqueça, gostaria de apontar para o trabalho de Lipyanskiy, especialmente a Seção 12, e marcar a pergunta como respondida.