$\mathbb R$ com a topologia gerada por $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ é pseudocompacto
Estou tentando resolver a seguinte questão dos conjuntos de problemas de preparação do UChicago GRE :
Dotar $\mathbb R$ com a topologia certa, gerada por $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ e chame este espaço $X$. Qual das seguintes afirmações é falsa?
(...)
(E) $X$ é pseudocompacto (todas as funções contínuas $f: X \to \mathbb R$ é limitado)
De acordo com a chave de resposta (E), não é falso. Nunca tinha ouvido falar do termo pseudocompatibilidade antes, mas estou tentando entender as coisas a partir da definição. Se bem entendi, a topologia$\mathcal O_\tau$ gerado pela base $\tau$ é $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. A propriedade básica das funções contínuas é que a pré-imagem de cada conjunto aberto é aberta. Usando apenas isso, mostramos que$f: X \to \mathbb R$ é limitado?
Respostas
Dica :$X$tem uma propriedade ainda mais forte: toda função contínua com valor real (na verdade, toda função contínua com valores em um espaço de Hausdorff) é constante. Isso decorre do fato de que cada dois subconjuntos abertos não vazios de$X$ se cruzam.
Suponha $f:X \to \Bbb R$ é contínuo, e suponha $f$não eram constantes. Isso significa que existem$x_1 \neq x_2 \in X$ com $f(x_1) \neq f(x_2)$. Suponha (WLOG) que$f(x_1) < f(x_2)$ então encontre $c\in \Bbb R$ com $f(x_1) < c < f(x_2)$. Então$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ está aberto e $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ está aberto também (ambos pela continuidade de $f$) e $O_1$ e $O_2$ são, portanto, não vazios, abertos e separados em $X$. No entanto, isso nunca acontece, visto que tais conjuntos em$X$ por definição são sempre da forma $(a, +\infty)$ e quaisquer dois deles se cruzam (qualquer ponto maior do que o máximo de seus pontos de fronteira está na interseção).
Portanto, qualquer contínua com valor real $f$ em $X$ é constante (tão certamente limitado), portanto $X$ é pseudocompacto.