Medida de risco convexo de variância

Question

Espero que você possa me ajudar com esta questão que eu realmente luto. A variância é uma medida de risco convexa? Acho que não, mas acho muito difícil encontrar um contra-exemplo.

Aqui estão meus pensamentos. Eu tentei encontrar um exemplo onde:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. eu sei que$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.

Agora, se a correlação é máxima, caso em que$corr(X,Y)=1$então:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.

Mas ainda não consigo encontrar nenhum exemplo em que isso seja maior que$\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.

Você pode me dar alguma dica? Eu aprecio muito isso.

Answer 1

Vamos considerar seu caso de correlação máxima. Você está tentando encontrar valores tais que

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

ou

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

ou

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$

ou

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$

ou

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$

o que claramente nunca é verdade para qualquer$0\leq\lambda\leq 1.$Porque LHS é maior no caso de correlação máxima:

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

e a variância é uma medida de risco convexa.