Mostra isso $2^n-1 \neq k^y$ para estranho $y$ [duplicado]

Dec 03 2020

Para $n\in \mathbb N$, $n>1$ prove isso $$2^n-1 \neq k^y$$ para todos $k,y \in \mathbb N_{\geq 2}.$

Supondo por contradição que existe $(k,y)$ de tal modo que $2^n-1 = k^y$, Consegui provar que o par não existe para um k par e para um y par.

Preciso provar que também não existe por um tempo estranho.

Eu preciso usar nesta prova que

$$\frac{x^{2k+1}+1}{x+1} = x^{2k} -x^{2k-1}+\cdots+1.$$

Obrigado!

Respostas

StinkingBishop Dec 03 2020 at 19:07

E se $y$ é estranho (por exemplo $y=2z+1$), então:

$$2^n=k^y+1=(k+1)(k^{2z}-k^{2z-1}+\ldots+ 1)$$

Isso significa que a soma nos segundos colchetes à direita tem $2z+1$ termos, sendo todos ímpares, a soma total é ímpar.

Isso, por sua vez, significa que $2^n\mid k+1$ como todas as ocorrências do fator principal $2$ deve estar presente no primeiro fator $k+1$.

No entanto, como também temos $k+1\mid 2^n$, Isso significa que $k+1=2^n$, ie $k=2^n-1=k^y$. Então também$k=1$ e entao $2^n=2$, ie $n=1$ (contradição), ou $k>1$, que implica $y=1$ (contradição).