Mostra isso $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$

Question

Mostra isso $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$, Onde $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ é o módulo do grupo de inteiros $15$ sob multiplicação.

Esta é uma questão envolvendo o Primeiro Teorema do Isomorfismo, mas não sei como usá-lo com um produto direto. Verifiquei se os grupos são cíclicos e também tentei encontrar apenas funções$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$mas isso não me levou a lugar nenhum. Se possível, uma dica ajudaria.

Answer 1

Sempre temos $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ para primos $p$ e $q$ pelo CRT (Teorema do Remanescente Chinês).

Além disso, temos $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$.

Referências:

$\mathbb Z_{mn}$ isomórfico para $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ sempre que $m$ e $n$ são coprime

É a minha prova de que $U_{pq}$ não é cíclico se $p$ e $q$ os primos ímpares distintos estão corretos?